第五章 对数、幂和根的几何

5.1 复代数几何

上章末讨论的复数的神奇性质包括许多方面，现在我们回头再看看其中更为基础的一些要素。首先，我们来看§4.1的加法和乘法规则在复平面上如何几何地表示出来。我们可以分别用图5.1（a），（b）的平行四边形法则和相似三角形法则来表示它们。具体来说，对于两个一般的复数w和z，点w+z和wz分别由以下命题确定：

点0，w，w+z，z分别是平行四边形的四个顶点，

且

顶点为0，1，w的三角形和顶点为0，z，wz的三角形相似。

（这里采用通常约定的逆时针周线取向。我的意思是说，我们沿平行四边形逆时针转一圈，从w到w+z的线段平行于0到z的线段，等等；此外，三角形间的相似关系不考虑“反射”因素。并且容许存在三角形和平行四边形按不同方式退化的特殊情形。**〔5.1〕）感兴趣的读者可以用三角学和直接计算来检验这些运算法则。**〔5.2〕但是，我们还有其他办法来看待这些关系，它们可以免去具体计算，而且更具洞察力。

我们先来考虑将整个复平面映射到自身的不同映射（或“变换”）的加法和乘法。任意给定的复数w定义了一种“加法映射”和一种“乘法映射”，它们是这样的运算：当作用于任意复数z时，前者为将w加到z上，后者为取w和z的积，就是说，

很容易看出，加法映射就是不加转动地沿复平面滑行或改变其大小或形状——一种平移变换（见§2.1）——将原点0移至点w；见图5.2（a）。平行四边形法则就是对这种情形的复述。但什么是乘法映射呢？它是一种保持原点不动和形状不变的变换——将点1变换到点w。在一般情形下，它包括具有均匀扩展（或收缩）的（非反射）转动变换，见图5.2（b）。***〔5.3〕相似三角形法则有效地表明了这一点。这个映射对于我们在§8.2的讨论有重要意义。

在特定的w=i的情形，乘法映射就是按右手法则（即逆时针）转过一个直角（π/2）。如果我们两次运用这一运算，则转过π，它相当于关于原点对称的反射变换；换句话说，这种乘法映射就是将每个复数z变换到其负值。它是“神秘”方程i2=－1的图像表示（图5.3）。“乘以i”的运算是通过几何上“转过一个直角”的变换来实现的。按这种观点看，这种运算的“平方”（即操作两次）似乎并不神秘，不过就是“取负值”。自然，这种观点并未除去笼罩在复代数为什么如此有效这一点上的魔力和神秘面纱，也不能告诉我们这些数的清楚的物理意义。例如，我们可以问：为什么只是平面转动，三维下情形如何？以后特别是在§§11.2，3、§18.5、 §§21.6，9、§§22.2，3，8—10、§33.2和§34.8等章节，我将讨论这个问题的不同方面。

在复数的平面描述中，我们对平面上的点用的是标准的笛卡儿坐标（x，y），但我们也可以用极坐标［r，θ］。这里正实数r量度自原点始的距离，角度θ量度直线自原点到点z的实轴按逆时针方向转过的角度，见图5.4（a）。量r也叫作复数z的模，我们经常写作

r=｜z｜，

θ叫做幅角（在量子力学里，有时也称作相角）。对z=0点，我们不考虑其幅角θ，但仍定义r为自原点的距离，此时就是r=0。

为清楚起见，我们可要求θ的主值处于一定的象限范围内，例如－π＜θ≤π（这是标准约定）。同时我们也可以认为对幅角增加2π的整数倍而其效果不变。这使我们能够在度量角度时可以不论正反方向绕原点转任意圈（见图5.4（b））。（这第二种观点实际上是一种更深刻的观点，它的意义我们不久就会知道。）由图5.5和基本三角函数关系我们看到，

x=rcos θ 和 y=r sin θ，

反过来有

这里θ=tan－1（y/x）量度多值函数tan－1的某个特定值。（对那些已忘了三角函数的读者，前两个式子不过是直角三角形中一个角的正弦和余弦函数的复述：“角的余弦等于邻边比上斜边”，“角的正弦等于对边比上斜边”，r就是斜边；后两个式子表示的是毕达哥拉斯定理的逆形式：“角的正切等于对边比上邻边”。我们还应注意到，tan－1就是正切tan的反函数，而不是倒数，因此上述方程θ=tan－1（y/x）表示tan θ=y/x.最后，tan－1的值具有任意性，就是说，θ可以增加2π的整数倍而关系不变。）[1]