3.4 自然数需要物理世界吗？

在§3.2描述戴德金对实数系的处理时，我预先假定了有理数是“意义明确的”。实际上，从整数过渡到有理数并不困难。有理数不过是整数的比（见前言）。那么整数本身又如何呢？这些数根植于物理概念吗？前两段所述的物理的离散方法无疑要依赖于自然数（即“计数数”）及其到整数的扩展（包括负数）。在希腊人那里，负数并不是实际的“数”，因此我们首先要探究的是自然数本身的物理地位。

自然数是那些我们用0，1，2，3，4，…来指称的对象，就是说，它们是非负整数。（现代处理往往包括0，这从数学的观点来看是适当的，虽然古希腊人似乎并不认为“0”是实际的数。“0”的使用要等到印度数学家引入才有可能。这一工作始于7世纪的婆罗摩笈多（Brahmagupta），以后分别为9世纪的摩珂毗罗（Mahāvīra）和12世纪的婆什迦罗（Bhāskara）所继承。）自然数的作用是清楚而无歧义的。他们真正是最基本的“计数数”，这种数的基本功能与几何定理或物理规律无关。自然数具有熟悉的运算法则，尤其是加法运算（如37+79=116）和乘法运算（如37×79=2923）。这些运算使得自然数对可以组合生成新的自然数，它们与世界的几何性质无关。

然而，我们可以提出这样的问题：自然数本身是否具有一定意义？它们真的是一种独立于物理世界的实际性质的客观存在吗？我们的自然数概念依赖于我们周围世界里现存的那些持久的意义明确的各种对象。当我们打算清点东西的时候，自然数最初就这么出现了。但这给人的印象似乎自然数依赖于世间存在的可用于“清点”的那些可长期加以区分的“东西”。另一方面，假定我们周围的世界里充斥的都是些始终在变化的客体，这个世界里的自然数还是一种“自然的”概念吗？不仅如此，如果宇宙间包含的实际上只有有限个“东西”，这种情形下，“自然”数本身将会在某一点到达尽头！我们甚至可以想象一个完全由无定形无特征物质构成的宇宙，对这种宇宙来说，数量化概念恐怕根本就是不合适的。这时“自然数”概念指的是什么呢？

即使出现的是这么一种情形——这种宇宙中的居民发现我们当前的“自然数”这种数学概念难于理解，很难想象这个基础性概念还有什么重要性可言。可以有多种方法将自然数引入纯数学，这些方法似乎与物理世界的实际性质不无关系。本质上说，这里需要用到的是“集合”的概念，这个概念是一种抽象，从任何意义上说，它都与物理世界的具体结构无关。实际上，对这个问题已有明确的区分，我将在后面（§16.5）再回到这个问题上来。眼下我们不妨暂且忽略这种细微差别。

我们来考虑这么一种引入自然数的方式（由康托尔率先提出，后由杰出的数学家冯·诺伊曼（John von Neumann，1903～1957）改进），其中自然数可通过集合的抽象概念来引入。这个程序使我们能够定义所谓的“序数”。所有集合中最简单的是“零集”或叫“空集”，其中不含任何元素！空集通常记为Ø，我们可将这个定义写成

这里花括弧表示一个集合，至于其元素，就是括弧中的量。对于零集，括弧中没有任何元素，因此这种集合是名副其实的空集。我们可由Ø联想到0。接下来我们进一步，定义一个只以Ø为唯一元素的集合，即集合｛Ø｝。注意，｛Ø｝不等同于空集Ø。集合｛Ø｝有一个元素（即Ø），而Ø本身则没有任何元素。我们可由｛Ø｝联想到自然数1。下一步我们再来定义有两个元素的集合，这两个元素就是我们刚刚说的两个集合，即Ø和｛Ø｝，故新的集为｛Ø，｛Ø｝｝，我们将它与自然数2联系起来。依此类推，我们将3与以上述3个集合为元素的集合｛Ø，｛Ø｝，｛Ø，｛Ø｝｝｝联系起来；将4与集合｛Ø，｛Ø｝，｛Ø，｛Ø｝｝，｛Ø，｛Ø｝，｛Ø，｛Ø｝｝｝｝联系起来；等等。这虽不是我们通常考虑的定义自然数的方式，但它却是数学家用来实现自然数定义的一种方法。（将这个定义与前言中的讨论作比较。）更重要的是，这种定义至少说明，像自然数这样的对象[17]是可以无中生有的，用到的仅仅是“集合”这一抽象概念。我们得到的是一个抽象的（柏拉图）数学单元的无穷序列——分别包含了0，1，2，3，…元素的一系列集合，每个集合代表一个自然数，完全独立于宇宙的实际物理性质。在图1.3中，我们想象“存在”一个独立的柏拉图数学概念——在目前情形，它就是自然数本身——但这个“存在”似乎仅凭我们头脑的想象就可以魔术般变出来，并且确实地接近它，丝毫无需借助物理宇宙的性质。戴德金的构造显示了这种“纯粹思维”的过程是如何能够深入进行的，它使我们能够同样无需借助周围世界的实际物理性质来“构造”出整个实数系。[18]然而，如上指出，“实数”的确与我们周边世界有着直接的联系——这个“第一谜团”的神秘性质见图1.3。