3.2 实数系

因此，古希腊人不得不接受这样一个事实：如果（欧几里得）几何概念要得以健康发展，有理数显然是不足的。今天，我们从不担心某个几何量是否会无法单用有理数来度量。这是因为我们已非常熟悉“实数”概念。虽然袖珍计算器只能以有限几位数字来表示数，但我们很快就明白，这是一个由于计算器运算能力所限得到的近似数。我们容许对理想的（柏拉图）数学数（mathematical number）作十进制无限连续展开。这种方法甚至可用于分数的十进制表示，例如像

分数的十进制展开总是循环的，即是说在某个数位之后，这个无穷数字列是由某个有限长数字列的无限重复构成的。在上面的这些例子中，重复数字列分别为3，6，285714和135。

古希腊人不知道十进制展开，但他们有他们自己的办法来对付无理数。实际上，他们所采用的是我们今天称为连分数的表示系统。这里我们不必深究，只予以稍许点评。一个连分数[4]就是一个有限或无限的表达式a+（b+（c+（d+…）－1）－1）－1，这里a，b，c，d，…都是正整数：

任何大于1的有理数都可以写成一个可穷尽的这种表达式（这里为避免歧义，我们通常要求最后的整数大于1）。例如，52/9=5+（1+（3+（2）－1）－1）－1：

而对于小于1的正有理数，我们只需容许表达式中第一个整数是零。对非有理数的实数，我们只需*〔3.1〕要求这种连分数表达式可以无限重复下去，下面是一些例子[5]

π=3+（7+（15+（1+（292+（1+（1+（1+（2+…）－1）－1）－1）－1）－1）－1）－1）－1）－1。

在前两个例子中，自然数的序列——即第一个例子中的1，2，2，2，…和第二个例子中的5，3，1，2，1，2，…——似乎有这样的性质：他们都是最终循环序列（在第一个例子中是2，第二个例子中是1，2）。**〔3.2〕从前述熟悉的十进制记法我们知道，只有有理数才有（有限的或）最终循环表达式。另一方面，有理数总可以表示为一个有限的连分数，这一点可看成是古希腊人在“连分数”表示方面所达到的成就。于是，我们自然要问，哪些数会有最终循环的连分数表达式？就我们目前的知识来说，这都是一个非凡的定理，它最先是由18世纪的数学家约瑟夫·C·拉格朗日（以后我们还会遇到他所提出的其他重要概念，特别是在第20章里）证明的：那些有最终循环连分数表达式的数是所谓的二次无理数。[6]

什么是二次无理数呢？它对古希腊几何有何重要意义？我们说，这是一种可以表示为如下形式的数

这里a和b都是分数，且b不是一个完全平方数。这种数对欧几里得几何之所以重要，是因为它们都是可由尺规作图直接得到的无理数。（回想一下，§3.1的毕达哥拉斯定理第一次引领我们来考虑问题，还有些其他的关于欧几里得长度的简单作图问题直接让我们领略了上述形式的其他无理数。）

二次无理数的一些特例是那种a=0及b为（非平方）自然数（或大于1的有理数）的情形：

这种数的连分数表示特别有意思，其自然数序列有一种奇妙性质。它由某个数A开始，然后紧接着是一个“回文”序列（即正读倒读都一样的序列）B，C，D，…，D，C，B，再接着是2A，然后又是无限重复的B，C，D，…，D，C，B，2A序列。我们以为例，其自然数序列为

3，1，2，1，6，1，2，1，6，1，2，1，6，1，2，1，6，…

这里A=3，回文序列B，C，D，…，D，C，B只有3个数1，2，1。

古希腊人在这方面懂得多少呢？他们可能知道的不少——很可能我上面所说的所有事情（包括拉格朗日定理）他们都知道，只是不能对每一件事情都给出严格证明。与柏拉图同时代的泰特托斯（Theaetetos，公元前417～前369）似乎就已经确立了其中的大部分。甚至有证据表明，这些知识（包括上面的重复性的回文序列）在柏拉图的对话里都有所反映。[7]

虽然利用二次无理数概念使我们有办法得到适合欧几里得几何的数，但它满足不了所有的需要。在欧几里得原本的第10卷（最难的一卷）里，就已经考虑了形如这样的数（其中a和b均是正有理数）。这些一般都不是二次无理数，但它们却出现在尺规作图里。满足几何作图的数都是些能用自然数通过重复使用加、减、乘、除四则运算和取平方根来构造而得到的数。但其专有的运算极为复杂，而且从尺规作图以外的欧几里得几何来考虑，这些数仍是非常有限的。古希腊人采取的更为令人满意的大胆步骤——这一步实际有多大胆将在§§16.3～5叙述——是容许完全一般化的无限连分数表达式。这种表示使得古希腊人能够得到足以描述欧几里得几何的任何数。

用现代术语来说，这些数其实就是所谓的“实数”。虽然这种数的完全令人满意的定义要到19世纪（戴德金、康托尔和其他人的工作）才出现，但古希腊的大数学家和天文学家、柏拉图的学生欧多克索斯（Eudoxos）早在公元前4世纪就已得到了这一概念的基本思想。下面我们对欧多克索斯的见解作一恰当评述。

首先我们注意到，欧几里得几何里的数可以表示为长度的比值，而不是长度本身。按此做法，具体的长度单位（像“英寸”或古希腊的“指〔1〕”）是不需要的。此外，有了长度比，无论多少个比值相乘都不受限制（这样当多于3个的长度相乘时就不需要考虑高维“超体积”）。欧多克索斯理论的第一步就是为诸如一个长度比a∶b大于另一个长度比c∶d这样的命题提供判据。这个判据是说，存在正整数M和N，使得自身相加M次的长度a大于自身相加N次的长度b，同时自身相加N次的d大于自身相加M次的c。**〔3.3〕对于a∶b小于c∶d的情形也有相应的判据。对比值相等的情形则这两种判据皆失效。有了这种天才的比值“相等”的概念，欧多克索斯实际上也就有了依据长度比建立起来的抽象的“实数”概念。他还建立了这种实数的加法和乘法运算法则。***〔3.4〕

然而，古希腊人的实数概念与当代的实数概念之间存在本质上的差别。因为古希腊人把数系看成是由物理空间距离概念基本“给定”的，因此问题归结为如何来确定实际的“距离”量度。而“空间”作为一种绝对的柏拉图理念早已深入人心，即使其中存在实际的物理客体也不可能使这种柏拉图理念有所改变。[8]（但从§17.9和§§19.6，8我们将看到，爱因斯坦的广义相对论已经从根本上改变了这种空间观念和物质观念。）

在古希腊人看来，沙滩上画出的正方形或大理石雕出的立方体这些物理对象，都不过是对柏拉图几何理念合理的有时甚至是极好的近似。隐藏在这些柏拉图形式背后的则是空间本身：一种高度抽象或概念化的存在，它可以看成是柏拉图实体的直接外化。这种理想化几何上的距离量度是某种待确定的量，相应地，我们可以适当地从给定的欧几里得空间的几何里抽出实数这种理想化概念。事实上，这就是欧多克索斯借以成功的方法。

然而，到了19、20世纪之交，认为数学上数的概念应与物理空间的性质分离开来的观点已经出现。由于数学上出现了不同于欧几里得的相容的几何，因此坚持数学上“几何”概念必定是从“真实”物理空间的假定性质中抽取出来的观点显然是不合时宜的。更主要的是，根据非完美物理对象的行为来断定这种假想的基本“柏拉图物理几何”的具体性质，如果不是不可能的，起码也是非常困难的。例如，要根据所定义的“几何距离”来了解数的性质，就需要知道无穷小和无穷大距离上会发生什么。甚至在今天，这些问题也还没有明确无误的答案（在后面的章节里我还会谈到这些问题）。因此，通过不直接依赖于物理测量来发展数的性质是非常合适的一种做法。正由此，戴德金和康托尔借助于不直接涉及几何的概念发展了他们的何“谓”实数的思想。

戴德金的实数定义是根据有理数的无穷集给出的。大致如下：考虑按大小顺序排列的正、负有理数（和零）。零在当中，负有理数在左边延伸至无穷，正有理数在右边延伸至无穷。（这只是出于视觉考虑，实际上戴德金的程序完全是抽象的。）想象一个“切口”将该序列一分为二，切口左边的均小于右边的。如果切口的“刀锋”没“伤”着有理数，而是插在两个有理数之间，我们就说切口所在位置定义了一个无理实数。更确切地说，只有在切口左边的所有数中没有最大的数，同时右边的所有数中没有最小的数的情形下，切口的位置所指才是无理数。将如此定义的“无理数”系加到已有的有理数系上，我们就得到了完整的实数系。

通过简单定义，戴德金程序直接给出了实数的加法律、减法律、乘法律和除法律。此外，它使得我们能够定义极限，由此，前述的无限连分数

1+（2+（2+（2+（2+…）－1）－1）－1）－1

或无穷和

都可以赋予实数意义。事实上，前一个式子给出无理数，后一个式子给出π/4。可取极限性是许多数学概念的基础，正是在这一点上实数显示出其特殊的力量。[9]（读者想必还记得，正如§2.3所述，“求极限过程”是面积的一般定义的必要条件。）