第三章 物理世界里数的种类

3.1 毕达哥拉斯灾难？

现在我们回到反证法问题上来，这一方法曾被萨凯里用于他对欧几里得第五公设的证明。经典数学里有许多成功运用这种方法的例子，最著名的一个例子出自毕达哥拉斯学派，这一证明方法解决了下面这样一个数学问题，尽管给他们带来巨大麻烦：我们能找到一个其平方等于数2的有理数（即分数）吗？答案是不能，一会儿我将给出这个数学命题：不存在这样的有理数。

为什么毕达哥拉斯学派对这个发现会感到如此烦恼呢？我们知道，一个分数——也就是一个有理数——总可以表示为两个整数a和b的比值a/b，其中b非零。（分数的定义见前言。）毕达哥拉斯学派原来一直认为，他们的全部几何可以用有理数量度的长度来表示。有理数非常简单，用简单有限的几个概念就能说明白，而且能够用于度量距离大小。如果所有几何都能用有理数表示的话，那么事情就会变得相当简单易懂。另一方面，“有理”数的概念要求可无限操作，这对古人来说显得相当困难（原因可以有很多）。为什么不存在其平方等于数2的有理数会是一个困难呢？这还要回到毕达哥拉斯定理本身。在欧几里得几何里，如果我们有一个单位边长的正方形，那么它的对角线就是一个其平方等于12+12=2的数（见图3.1）。如果不存在这样一个能够描述正方形对角线长的数，这无疑是几何学的灾难。开始时，毕达哥拉斯试图用能够以整数比描述的“实际的数”概念来解决这个问题。下面我们看看为什么这么做没用。

这个问题可归结为：为什么对正整数a和b，方程

无解？我们用反证法来证明不可能存在这样的a和b。为此我们假设，如果这样的a和b存在，那么

用b2乘以上述方程的两边，可得到

a2=2b2，

另外，显然有a2＞b2＞0。[1]现在方程的右边是偶数，故a必为偶数（不可能是奇的，因为奇数的平方还是奇数）。不妨设a=2c这里c是某个正整数。我们用2c替换下方程里的a，再平方，有

4c2=2b2，

两边再除以2，

b2=2c2，

于是有结论b2＞c2＞0．这个方程除了b取代a和c取代b之外，形式与以前的完全一样，只是有一点，相应的整数较之以前变小了。现在我们不断重复这个论证过程，由此得到一个方程的无穷序列

a2=2b2，b2=2c2，c2=2d2，d2=2e2，…，

这里

a2＞b2＞c2＞d2＞e2＞…，

所有这些整数都是正的。但一个递减的正整数序列最后必然达到零，这与这个序列的无穷性质相矛盾。带来矛盾的是我们所做的假设，即存在平方为2的有理数。因此，正如我们要证的，不存在这样的有理数。[2]

上述论证中有些要点应当挑明。首先，按照正常的数学证明程序，论证中涉及的数的性质应是“明白的”或是之前得到认可的。例如，我们利用了奇数的平方总是奇数，以及一个整数不是奇数就是偶数这些事实。我们另外用到的一个基本事实是，每个严格递减的正整数序列一定达到零。

确认论证中使用的精确假设之所以重要——尽管这些假设中有些完全是“显然”的——是因为数学家们经常对论证中并非原初所关心的其他方面感兴趣。如果这些方面的性质仍满足原假设，那么论证就仍是有效的，同时所证的命题也因此获得了比原有的更广泛的意义，因为它可以用到这些其他方面。但另一方面，如果某些所需的假设在这些新的方面不能成立，那么我们就知道了原命题在这些新的方面是不成立的。（例如，认识到如下事实很重要：在§2.2的毕达哥拉斯定理证明中我们用到了平行公设，因此该定理在双曲几何下是不成立的。）

在上述论证中，原初的对象是整数，而我们关心的那些数——有理数——则是整数的商。对于这样的数，的确不存在其平方等于2的情形。但还存在另一些并非整数和有理数的其他类型的数。正是2的平方根的需要迫使古希腊人非常不情愿地越过整数和有理数的樊篱去寻找新的数。他们发现他们不得不接受的这种新的数就是我们今天的所谓“实数”：一种我们现在用十进制无限展开来表示的数（虽然古希腊人不知道有这种表示）。实际上，2的确有一个实数的平方根，即（我们将它写在下面）

在下一节我们还将更仔细地考虑这个“实数”的物理功用。

出于好奇，我们不妨问一句，为什么上面对“不存在2的平方根”的证明对实数（或实数比，二者是一回事）是无效的？如果我们将论证中的“整数”代换为“实数”会发生事情？我们说，基本的差别在于，严格递减的正实数（甚至其分数）序列必达到一个定值这一点是错的，因此论证在这一点上不成立。[3]（例如，考虑无限序列1，。）人们也许还担心这种情形下“奇”和“偶”实数之间是否有差别。事实上，这种区别丝毫不造成论证困难，因为所有的实数和所有的“偶实数”一样多：对任一实数a，总存在一个实数c使得a=2c，对实数两边除2总是可能的。