2.3 毕达哥拉斯定理的相似面积证明

下一节我们再来讨论不作平行公设假定的数学意义。相关的物理问题则放在§18.4、§27.11、§28.10和§34.4讨论。但在讨论这些问题之前，我们先回到毕达哥拉斯定理的另一个种证明上来。

有一种最简单方法可以看出欧几里得几何中毕达哥拉斯命题的真确性。这就是考虑如下的直角三角形构形：它由斜边所对直角向斜边做垂线分割成的两个小三角形组成（图2.9）。现在我们有了三个三角形：原三角形和由它分割而成的两个小三角形。显然，原三角形的面积等于两小三角形面积之和。

图2.9 用相似三角形证明毕达哥拉斯定理。取一个直角三角形，从它的斜边所对的直角向斜边做垂线，将原三角形分割成两个小三角形。显然，两小三角形面积之和等于原三角形的面积。三个三角形彼此相似，故它们的面积正比于各自斜边长的平方。由此毕达哥拉斯定理得证。

现在我们很容易看出，这3个三角形是彼此相似的。就是说它们有相同的形状（尽管大小不同），或者说，我们可以通过按比例放大或缩小加上刚性移动从一个得到另一个。由此还可知，这3个三角形依次对应的角相同。每个小三角形都与大三角形共一个角，并且三者都有一个直角。这样第三个角也必然相同，因为三角形的内角和是一个常数。我们知道，相似的平面图形之间有一个共同性质，即它们的面积与其相应的线性维度的平方成正比。具体到三角形，这个线性维度可取为其最长的边，即斜边。而两个小三角形的斜边正好就是原三角形的两条直角边。于是（从原三角形的面积等于两小三角形面积之和这一事实）我们立刻得到，原三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，即毕达哥拉斯定理！

同样，这个论证中有一些假设有待检验。其中最关键的是三角形的内角和是一个常数这一事实。（这个常数是180°，但欧几里得总喜欢称其为“两个直角”。用现代更“自然的”数学语言来表述则是这样：在欧几里得几何里，三角形的内角和为π。这是用弧度来度量一个角，而“°”所表示的度相当于π/180，故我们有180°=π。）通常的证明如图2.10所示。我们延长CA到E，并过A画直线AD平行于CB。于是（由平行公设），∠EAD和∠ACB相等，∠DAB和∠CBA相等。由于∠EAD、∠DAB和∠BAC之和为π（即180°或两个直角），因此三角形的三个角∠ACB、∠CBA和∠BAC之和必为π——此即所需证明的。但注意，这里我们用到了平行公设。

图2.10 三角形ABC的内角和等于π（=180°=两个直角）的证明。延长CA到E，画直线AD平行于CB。由平行公设，∠EAD和∠ACB相等，∠DAB和∠CBA相等。由于∠EAD、∠DAB和∠BAC之和为π，因此三角形的三个角∠ACB、∠CBA和∠BAC之和必为π。

毕达哥拉斯定理的这个证明也可以用来说明相似形的面积正比于其线性维度大小的平方这个命题。（这里我取每个三角形的斜边来表示这个线性维度。）这一事实不仅依赖于真正存在着不同大小的图形（即我们用平行公设建立起来的图2.9所示的三角形）之间的相似关系，而且取决于一些与我们如何定义非规则形状“面积”有关的更复杂的问题。这些一般性问题通常是通过求极限来解决的，眼下我不打算在此作深入讨论。但可以指出一点，它将引领我们进入与几何中数的种类有关的那些更深入的问题，我们将在§§3.1～3予以讨论。

上一节讨论的一个重要主题是毕达哥拉斯定理似乎取决于平行公设。这是真的吗？假定平行公设错了呢？是不是意味着毕达哥拉斯定理本身也不成立呢？提出这种可能性有什么意义？让我们试着回答这样一个问题：如果平行公设确实可以看成是不成立的，那将会怎样？我们似乎正在进入一个神秘的虚幻世界，在这里我们在学校里学的几何知识被整个倒了个个儿。但我们会发现，这么做有着更深刻的意义。