2.2　拓扑学

2.2.1　拓扑学的概念

拓扑学和几何学都是以空间作为研究对象的。拓扑学经常被描述成“橡皮泥的几何”，就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。比如，所有多边形和圆在拓扑意义上是一样的，因为多边形可以通过连续变形变成圆（图2-7），再比如，图2-8中，一个茶杯可以连续地变为一个实心环，在拓扑学家眼里，它们是同一个对象。

图2-7　圆的拓扑变形

图2-8　从一个杯子到环面的拓扑变形

2.2.2　拓扑学的应用

①物理学中的应用

现代物理的规范场论理论是由科学家杨振宁和米尔斯建立的，他们利用拓扑学来分析场，使得规范场的理论很好地统一了电磁相互力、强相互作用力和弱相互作用力，也使人类认识世界又前进了一大步。

②化学中的应用

现代化学从定性分析逐渐走向定量分析，而拓扑学正好提供了研究物质微观结构与化学性质之间关系的有效工具，并找到其拓扑不变量。

③互联网中的应用

现今，人类社会进入了信息时代，互联网的快速发展离不开拓扑学原理。计算机网络的拓扑结构引用了拓扑学中研究与大小、形状无关的点线关系的方法，把网络中的计算机和通信设备抽象为一个点，把传输介质抽象为一条线，由点和线组成的几何图形就是计算机网络的拓扑结构。网络的拓扑结构反映出网络中各个实体之间的结构关系，是建设计算机网络的第一步，是实现各种网络协议的基础。它对网络的性能、系统的可靠性与通信费用都有很大影响。未来随着网络信息量的不断增加，网络拓扑结构的研究也会不断地深入。

④经济学中应用

拓扑学方法和拓扑学中的“不动点定理”也是现代经济学理论研究的重要工具，1983年诺贝尔经济学奖得主德布鲁教授论一般经济平衡的存在性，1994年诺贝尔经济学奖得主纳什教授论证博弈论纳什均衡的存在性，靠的都是拓扑方法和“不动点定理”，所以要了解现代经济学的前沿发展，需要掌握拓扑学。此外，拓扑学本质上的整体的讨论方式适应了经济学领域的要求，拓扑学的一些基本方法也在相关领域开拓了应用。

⑤生物学中的应用

DNA（脱氧核糖核酸）的主要功能是生物信息的遗传和转录，其结构非常复杂，而采用拓扑学的方法来研究就体现出巨大的优势。科学家还建立了DNA拓扑学的分支学科，这对于人类加快认识人体提供了有力的分析手段。

⑥建筑学中的应用

将拓扑学的思想引入建筑设计中的建筑拓扑学，主要研究建筑形态的特征和演化过程，对于丰富建筑变形提供了方法，对建筑与环境之间的关系也具有理论指导意义。同时，笔者通过对人体空间和建筑空间的研究，发现拓扑学对于认识建筑空间与人体空间的关系也具有非常大的实际指导作用。

按照拓扑学理论，任意闭合可定向的曲面是如下曲面之一：球面、环面或有限多个环面的连通和。