第二讲 与小升初的同学谈数学学习
新学年开始了，一批新同学由小学升入初中，到附中来学习. 首先祝贺大家进入了新的学校、开始了全新的学习生活.《中小学数学》的方运加主编约我与附中初一的同学们谈一谈数学的学习方法. 我想，我作为过来人，就和大家聊一聊过来人的体会与思考吧，供大家参考.
一、代数、几何学科的特点
由小学到初中，大家从过去学习算术四则运算到学习代数、学习几何，好像到了一个新天地，许多东西似乎很生疏. 怎么现在学的数学和过去学的算术大不一样呢？ 细想一下，确实如此. 我们仔细分析一下初中代数与过去的算术四则运算有什么区别是有益的.
说起算术，大家就会想到各种类型的应用问题，我们从一道例题加以分析.
例1：一个农夫有若干只鸡与兔，它们共有50个头，140条腿. 问鸡与兔各几只？
算术解法可以各式各样.
解1.假设50只都是鸡，则共有50×2条腿，多出（140−50× 2=）40条腿.原因何在？在于每只兔子当作一只鸡时少计两条腿.故40÷2=20应是兔子的只数.
列式：（140−50× 2）÷（4−2）=20（兔的只数）
50-20=30（鸡的只数）
不同的同学因思路不同，解法也迥然不同.有一位同学就曾给出如下的算式.
解2.140 ÷ 2-50=20（兔的只数）
50-20=30（鸡的只数）
这个列式结果正确，但理由是否充足呢？老师得去琢磨，设想学生的列式理由，弄不清还得去问学生. 这个学生这样解释：把鸡的腿捆在一起都看成金鸡独立的“单脚鸡”，把兔看成前脚抱着大萝卜站着的“双脚兔”. 这时有头50，有腿（140 ÷ 2=）70.因为每只“双脚兔”比“单脚鸡”多一条腿，共计多计70-50=20条腿，这也正是兔子的只数. 这个解释简直叫人拍案叫绝！但这个同学若不讲出来，怎么能从140 ÷ 2-50=20的算式中看到上述思维过程呢？
现在我们再看代数解法.
解3.设农夫有鸡x只，共2x条腿.
有兔50-x只，共4（50−x）条腿.
鸡兔总腿数为140，即2x+4（50−x）=140
解得x=30（鸡的只数）
50-30=20（兔的只数）
我们看到，代数解法就像用代数式子把题意复述一遍，列出了方程，进而求出了解答.简直就是把生活中的语言翻译成为代数语言，至于算术解法中的那些“单脚鸡”、“双脚兔”之类的绞尽脑汁的思索都用不着了，一切都变得简单了. 原因何在呢？
其实，上述的感觉与体会，正体现了从算术到代数的飞跃！
在算术中只就具体数进行四则运算，代数中就以文字代表的数进行运算.在算术中只允许已知数参加运算，未知数完全处于被求的地位，总是“等待”由已知数计算出它的数值. 这样实际上是把已知与未知处于对立的状态，因此列出算式往往十分困难. 而在代数中，我们承认未知数x也是数，它可以像已知数一样参加运算，于是整个问题的面貌就大为改观了. 要想解一个应用题，“只要把问题里的日常语言翻译成代数的语言就成了.”所谓代数语言，最基本的“词汇”就是代数式. 因此，学习代数，就要学会把日常语言准确地翻译成代数式，会读懂代数式，会列代数式，会对代数式进行四则运算. 从算术到代数，就像由个体手工操作到机器生产的变化一样，代数是一般性的处理问题，不知你体会到这个特点没有？如果你没察觉到代数的这些特点，还以学算术的思维习惯对待学代数，那就不能适应变化了的新情况.
初一下学期，开始学几何，开始时，线段、角等概念还不算太难，与小学学习几何的情况大体相似，只是略微复杂了一些. 但从相交线、平行线以后，就有点味道不同了.“明明看着相等的对顶角还要证明其相等”，到了三角形一章有些同学就更感到困难了. 那么从小学的几何知识到初中的几何课程有什么变化呢？
例2：如图1，AB//CD，问∠ABP+∠ BPD+∠CDP是多少度？
图1
小学生的办法，是用量角器去量，每个同学量得的结果可能不一样，有的可能量得360.1°，也可能有359.9°，也可能量得360°.这种几何叫做实验几何.
但在中学几何中，我们会发现，光用测量的办法是不够了. 比如画两个等长的线段（图2）.只是在两端箭头方向画的不同，下面的线段看上去就比上面的长. 直观测量是有误差的，因此需要推理证明才行.
图2
证明：作PE//AB
因为AB//CD
所以PE//CD
（平行于同一直线的两直线平行）
图3
由PE//AB，则∠1=∠2（二直线平行，内错角相等）
由PE//CD，则∠3=∠4（二直线平行，内错角相等）
由∠2+∠5+∠4=360°（周角定义）
所以∠1+∠5+∠3=360°（等量代换）
即∠ABP+∠BPD+∠CDP=360°.
每一步都是“因为”、“所以”地注明理由的严格推理论证，其所根据的理由，又是前面已经学过的公理、定理和定义. 没有具体去量，得出的3个角之和为360°，是根据公理、定义、定理推证出来的. 这样的几何叫推理几何. 由实验几何到推理几何也是一个重大的飞跃，又是一个大的转折. 如果你的观念没跟上这个变化，就有掉队的危险.
大家从小学升到初中，马上在初一代数与初二几何中经历上述两个急转弯. 并且是在一年之内连续发生的，有些同学没有适应这一情境变化的思想准备，不会及时调整自己的学习方法，就出现了不适应甚至落伍或掉队，这就会产生学习上的所谓的“分化”现象.