二、若干数学技术

从一个国家的长期发展战略计划、一场现代战争的预期结果到一个企业的战略决策、一个重要新产品的设计、一个风险因素的预测、一天或若干天的气象预报、社会系统稳定性的评估等等，无一不用定量思维。所谓定量思维是指用数学的理论和方法，把一个实际问题用数学模型进行描述，写成数学表达式，最后算出数字并对结果进行检验。

可见，数学科学对自然、对社会、对经济、对各个领域是一种关键的、普遍适用的、并授予人能力的高技术。高技术是取得许多成就的关键因素，而数学技术又是这种技术的本质部分。

下面我们指出相对可以独立成为技术的若干数学技术。

1 计算技术

20世纪初，有位气象学家提出用数值计算来研究气象过程，并进行预报。他建议以现时的气象动力参数作初始值，用数值方法逐步地解算气流运动微分方程来定出气象动力参量的演变。在当时，这种建议是不现实的。按当时的条件，每作一算术运算大约要1分钟以上。如果要算一个24小时的气象预报，其运算量要以百万计，即组织一个不小的计算队伍也要算上好几个星期。他期望计算技术要超过天气变化。1950年诺依曼等人才提出实现这种气象预报。他们作了第一次尝试，虽结果不甚理想，但证明计算技术是可行的。这当然与电子计算机出现有关。1946年研制成功了第一台数字电子计算机ENIAC，天气数值预报就在这台计算机上作了首次尝试，并在12小时内算完了24小时天气预报。这台计算机每秒进行300～500个算术运算，且程序控制是全自动的，其计算速度提高了4个量级。

20世纪80年代初，美国数学家们向美国政府提出了一份报告，提出了科学计算的重要性，认为科学计算是科学、工程、高技术的关键部分。计算机的出现以及不断进步，把计算技术推向人类科学活动、生产活动的前沿。计算技术正成为一种数学技术。在现代自然科学、经济科学、社会科学、工程技术中，涉及的数学模型绝大多数是非线性的微分差分方程，求精确解几乎是不可能的，但借助于计算机，用数值方法，原则上都是可行的。如一类非线性色散波方程具有一种粒子结构性态的解——孤光子，它能经历交互作用而保持其形状、速度不变。这是科学家用数值方法解算典型非线性色散波方程时，借助计算机的动画电影显示看到的两个孤粒子“碰撞”。又如有限元方法，是解偏微分方程的一种通用的计算方法。它基于变分原理与格网分割的有机结合，后又成为解椭圆方程的主导方法，并开辟了方法研究与应用研究的新方向。有限元方法的指导思想是化整为零、裁弯取直、以简取繁、图难于易，因此具有几何上的灵活的突出优点，特别适合于解决复杂度大的问题。这个方法，是中国著名数学家冯康创立的。再如快速傅里叶变换，这是一种计算有限傅里叶级（即周期性离散傅里叶变换）的递推性快速算法。该法将 N点变换计算量从传统的O（N2）降至O（N/lnN），这对实际工作中大数值的N来说，工效可提高几个数量级。同时，它还克服了“时间域”、“频率域”转换的计算障碍。为调和分析方法在谱析、全息信号与图像处理等许多科技、工程领域广泛应用计算机开辟了道路。还有，线性规划射影算法（1984年由美国数学家提出）使计算量由O（N6）降至O（N4.5），而且非常实用，大大推进了线性规划最优化的计算。至于地震勘探的数据反演是当前地下油气资源勘探主要采用的人工地震方法，即在地表某点放炮，使被激发的地震波在地下空间传播，然后在地表收取散射（包括发射、折射和衍射）回来的反向信号，反推出可能会有油气构造的部位。由于地震波的传播满足某种波动方程，地下的结构和岩性决定方程的系数，地表为区域的边界，在地表取得的反响则是边界上的解。若知方程的解反过来可求方程的系数。这称为逆问题。

科学的计算有两个环节：一是硬件，即计算机硬件装备；二是软的环节，主要是指计算方法及其软件，这就是计算技术。20世纪50年代到70年代末，计算机硬件提高了5个量级，与此同时，计算技术提高了8个量级。这是20世纪发展起来的最有力的数学技术。它是数学技术的最核心的技术之一。