石头、剪子、布：混合策略性游戏

警察与小偷的博弈：随机策略是最好的规则

警察部门负责城市中某一区的治安。警察要对该区的A、B两地进行巡逻。假定该区有一群小偷，要实施偷盗。警察要防止小偷的偷盗，但因为设备有限，只有一部警车，因此，警察只能一次在一个地方巡逻。而对于小偷而言，他们也只能去一个地方。假定A地需要保护的财产价值为2万元，B地的财产价值为1万元。若警察在某地进行巡逻，而小偷也选择了去该地，因警察在场，小偷无法偷盗该地的财物；若警察没有去某地巡逻，而小偷选择了去该地，则小偷偷盗成功。警察怎么巡逻才能使效果最好呢？

一个明显的做法是，警察对A地进行巡逻，小偷去B地，这样警察可以保证2万元的财产不被偷窃，小偷的收益为1万元。但是这种做法是警察的最好做法吗？有没有对这种策略改进的措施？

警察巡逻某地，偷盗者在该地无法实施偷盗，假定此时小偷的得益为0（没有收益），此时警察的得益为3（保住3万元）。

这个博弈是混合策略博弈，它没有纯策略纳什均衡点，而有混合策略均衡点。这个混合策略均衡点下的策略选择是每个参与者的最优（混合）策略选择。

对于这个例子，警察的一个最好的做法是，用掷骰子的方法决定去A地还是B地。假定警察规定掷到1～4点去A地，掷到5、6两点去B地，这样警察有2/3的机会去A地进行巡逻，1/3的机会去B地。

而小偷的最优选择是，以同样掷骰子的办法决定去A地还是去B地偷盗，只是掷到1～4点去B地，掷到5、6两点去A地，那么，小偷有1/3的机会去A地，2/3的机会去B地。

此时警察与小偷所采取的便是混合策略。

假如按这种办法，警察此时的期望得益是7/3万，大于2。警察按此办法比只巡逻A地收益得到改进。

而小偷的收益是：一旦警察采取混合策略，小偷也采取混合策略，其最优混合策略下的收益为2/3万元。

因为：当警察去A地巡逻时，小偷有1/3的机会去A地，2/3的机会去B地，此时，警察A地的得益为：1/3×3+2/3×2=7/3万元；当警察去B地时，同样小偷有1/3的机会去A地，2/3的机会去B地，此时警察B地的得益为：1/3×1+2/3×3=7/3万。警察总的得益为：2/3×7/3+1/3×7/3=7/3万。

同理，我们可得小偷的总的得益为2/3万元。

警察与小偷之间的博弈，如同小孩子之间玩“剪刀——石头——布”的游戏。在这样一个游戏中，不存在纯策略均衡。对每个小孩来说，自己采取出“剪刀”、“布”还是“石头”的策略应当是随机的，不能让对方知道自己的策略，哪怕是倾向性的策略。如果对方知道他出其中一个策略的可能性大，那么他在游戏中输的可能性就大。因此，每个小孩的最优混合策略是采取每个策略的可能性是1/3。在这样的博弈中，每个小孩各取三个策略的1/3是纳什均衡。

由此可见：纯策略是参与者一次性选取的，并且坚持他选取的策略；而混合策略是参与者在各种备选策略中采取随机选取的。在博弈中，参与者可以改变他的策略，而使得他的策略选取满足一定的概率。

当博弈是零和博弈时，即一方所得是另外一方的所失时，此时只有混合策略均衡。对于任何一方来说，此时不可能有纯策略的占优策略。

这就是纳什于1950年证明的纳什定理。零和博弈中没有纯策略纳什均衡点，而有混合策略均衡点。这个混合策略均衡点下的策略选择是每个参与者的混合策略选择。

一千次的打击比不上一次的成功

范雎是战国时魏国人，著名的策士。他才华横溢，但由于出身寒微只能在魏国中大夫须贾的府中任事。

一次，须贾奉魏王之命出使齐国，范雎作为随从一同前往。齐国国君齐襄王早已知道范雎有雄辩之才，因此，范雎到了齐后，齐襄王便差人携金十斤及美酒赠与范雎，以表示对智士的敬意。范雎对此深表谢意，却未敢接受齐襄王的赠礼，想不到还是招来须贾的怀疑。须贾执意认为：齐襄王送礼给范雎，是因为他出卖了魏国的机密。

须贾回国之后，将“范雎受金”的事上告给魏国的相国魏齐。魏齐不辨真假，也不做调查，便动大刑惩罚，范雎在重刑之下，范雎肋骨被打断，牙齿脱落。他蒙冤受屈，申辩不得，只好装死以求免祸。范雎已“死”，魏齐让人用一张破席卷起他的“尸体”，放在厕所之中，然后指使宴会上的宾客，相继便溺加以糟蹋，并说这是警告大家以后不得卖国求荣。

范雎在这次事件中，差点丧命，身心受到极大创伤。

范雎平白无故地遭受了一场肌肤之苦和奇耻大辱，一腔效命魏国的热忱化作了灰烬。他决计离开魏国，另谋一处可以显身扬名的地方。为了脱身，范雎许诺厕所的守者，如能放他逃出去，日后必当重谢。守者利用魏齐醉后神志不清，趁乱请示了一下，诡称将范雎的“尸体”抛向野外，借此将他放了出去。范雎在一个叫郑安平的朋友的帮助下逃亡隐匿起来，并改名为张禄。

就在范雎忍辱求全、隐身民间的时候，秦国一个叫王稽的使节来到魏国。秦国此时国力强盛，且虎视眈眈，有兼并六国的雄心。郑安平得知秦使王稽来到魏国，便扮成吏卒去侍奉王稽，目的是想寻找机会向他推荐范雎。一天，王稽在下榻的馆舍向郑安平打听，魏国有没有愿意与他一块西去秦国的贤才智士。郑安平便不失时机地向王稽陈说范雎的才干。王稽当下决定于黄昏时分，在自己的舍内与范雎见面。

日暮时分，郑安平带范雎来到王稽馆舍。王稽听范雎谈吐便知道他十分有才，所以决定带他入秦。

王稽出使结束，辞别魏王，私下带着范雎归秦。他们一路紧赶，一直来到秦国境内的京兆湖县。这个时候，只见对面尘土飞扬，一队车骑奔驰而来，范雎忙问王稽道：“对面来的是什么人？”王稽注目望了望，转身告诉范雎，来的是秦国穰侯魏冉。范雎一听便说：“据我所知，穰侯长期把持秦国的大权，厌恶招纳别的诸侯国的客卿入秦。我看，我与他相见，只会招致他的侮辱，请您还是把我藏在车中，不见为好。”范雎刚藏好，魏冉的车骑就到了。果然不出范雎所料，魏冉向王稽说了一番抚慰他出使辛苦的客套话之后，接着询问王稽：“使君出使归秦，有没有带别国客人来啊？这样做，于我们秦国没有好处，只会添加麻烦。”王稽赶忙答道：“不敢。”魏冉看了看王稽，即示意驭手启车继续东行。此时，王稽的心里更加佩服范雎。

听到魏冉一行离去的车马声，范雎才从车中探出身来，望着渐渐远去的魏冉的背影，心中沉思：我听说魏冉是一个聪明人。刚才他已经怀疑车中有人，只是决心下慢了，忘记搜索而已。

一念及此，范雎当即断然对王稽说：“魏冉此去，必然会后悔，非派人返回搜索使君的车辆不可，我还是下车避一下为好。”说完，范雎便跳下车，往道旁小径走去。王稽按辔缓行，以待步行的范雎。方才走了10多里，只听见身后一阵杂沓而急促的马蹄声，魏冉遣回的骑卒已经赶了上来。骑卒将王稽的车马紧紧围住，一阵搜检，见车中确实没有外来的宾客，方才纵马而去。

骑卒远去，范雎从小路闪出，与王稽相顾一笑，上车策马，往秦都咸阳的方向急驶而去。

范雎装死逃出魏国，智避魏冉而得以入秦。入秦后，他充分施展辩才游说秦昭王，最终取得信任。秦昭王采用范雎的谋略，对内加强了秦国的中央集权，对外使用远交近攻的霸业方略，使秦国对关东列国的压力再度加强。秦昭王因此任命范雎为秦相。

范雎对自己的人生把握准确，即使细节上的判断也非常精确。范雎每一次避祸，都是坚定自己一定会成功的信念，才有勇气走下去。他的目的只有一个——让自己的才华得以展现。不管经历多少坎坷，对于整个人生而言，成功的概率是很大的。一次成功的所得足以抵挡住多次失败的损失，但不成功的人计算概率却是仅以次数来计算。实际上，失败的次数总是多于成功的次数，所以这样计算出来的成功概率是非常小的，从而打击了自己的信心。而范雎却是用失败与成功的损益作为基数统计，最终登上了秦相的宝座。

大凡世人皆抱求成功的心态，必有一番事业方不枉此生，但综观世界，还是碌碌者居多。为什么成功者总是少数呢？记得电视剧《水浒传》里有个情节：李逵见方腊一方的一个女孩，长得白白净净，喟然对燕青感慨道：“小乙哥，你说这人真奇怪，一开始出生时都是白白胖胖的，怎么长着长着就变样了呢？”世事人生皆如是，少小立志，而大后却无奈于现实，真正能够按照自己的意志走下去的人没有多少。真正成功之人，也未必少小立志，也许年少碌碌，偶然的机遇让自己的事业达于顶峰。人生如梦，好的机遇往往不期而遇，厄运也不知道何时降临。一个人成功的概率能有多大，同样的付出，为何有人成有人败。我们能把这些全部归结为环境不好吗？当年第一代互联网方兴未艾之际，似乎只要你有个商业策划书，就可以拉来投资。一时间，各互联网精英纷纷涌现，但繁华过后，有多少投资商血本无归，多少经营者惨淡收场，真正崛起并坚持的只有几家。为什么那几家成功了呢？若论环境，当都为不利，因为竞争太过激烈。若不论环境，又是什么造成了英雄的笑傲市场，是运气还是必然？公司如是，人生亦如是。爱迪生发明灯泡时经历了那么多次失败，如果计算爱迪生发现钨丝成功的概率，可谓小之又小，但他依然成功了。我们再看林肯的例子。

8岁时，被赶出居住的地方，他必须工作谋生；

21岁时，经商失败：

22岁时，角逐州议员落选；

27岁时，精神崩溃，卧床6个月；

35岁时，参加国会大选失败；

36岁时，角逐联邦众议员，失败；

40岁时，寻求众议员连任，失败；

41岁时，想担任州土地局长被拒绝；

46岁时，竞选国会参议员，失败。

这张就是亚伯拉罕·林肯的履历表。生下来就一贫如洗的林肯，终其一生都在面对挫折：2次经商均告失败，8次竞选8次落选，甚至还曾精神崩溃。

不过，一次次的失败并没有把他打倒，尽管好多次他本可以放弃。可他不但没有放弃，反而勇敢地接受命运的屡屡挑战。正因如此，他在52岁时终于成功地当选为美国第十六任总统，并作出了惊天动地的丰功伟业。

没有一个人的成功是一蹴而就的，没有谁可以一步登天。所有的成功都是经历了一连串的失败之后才获得的。即使成功的概率很小，但他们坚持成功的心迹未变。林肯和爱迪生如果按照概率来计算，恐怕失败的概率更大，但他们依然是成功者，是社会上的精英。所以决定一个人成功的因素不是环境、运气之类，而是一个人的心志。社会上成功者很少，是因为大多数人不懂得贵在坚持的道理。

泰戈尔说：“幸运女神不喜欢那些迟疑不决、懒惰、相信命运的懦夫。”不成功并非运气不佳，而是自己不愿做一个成功者。任何一个成功者都会认为，按终生计算的话，成功总是大于失败的，因为失败一千次的打击和损失都比不上成功一次的喜悦和贡献。虽然失败的次数多，但一次成功的效用足以抵挡多次失败的效用。

电话断了谁来打

如果甲正在和乙通话，电话断了，而话还没说完，这时每个人都有两个选择：马上打给对方，或等待对方打来。

注意：如果甲打过去，乙就应该等在电话旁，好把自家电话的线路空出来，如果乙也在打给甲，双方只能听到忙音。另一方面，假如甲等待乙打电话，而乙也在等待，他们的聊天就没有机会继续下去了。

一方的最佳策略取决于另一方会采取什么行动。

博弈论中有一个结论：纳什均衡点如果有两个或两个以上，则结果难以预料。对于这个出现了两个纳什均衡点的打电话博弈，我们该如何从博弈论中求解呢？

我们可以把所谓“纳什均衡点如果有两个或两个以上，结果就难以预料”，理解为“没有正确（或者固定）答案”。也就是说，我们无法从博弈论中得知到底该怎么做。

事实上，博弈论在这个打电话问题上的解决办法看起来很笨，即用投硬币的方式来决定自己是不是应该给对方打电话。根据前面给出的条件，两人这种随机行动的组合成为第三个均衡：如甲打算给乙打电话，有一半机会可以打通（因为这时乙恰巧在等甲打电话），还有一半机会发现电话占线；假如甲等乙打来电话，那么，同样会有一半机会接到电话，因为乙有一半机会主动给甲打电话。每一个回合双方完全不知道对方将会采取什么行动，他们的做法实际上对彼此都最理想。

由于双方主动拨打电话的可能性均为50%，所以平均来说要尝试两次才能成功接通。当然，这个“笨办法”并不是博弈论的错，而是就策略而言只好如此。

博弈论对这种混合策略的传统解释是，局中人应用一种随机方法来决定所选择的策略。这种解释在理论与实践中均不能令人满意。约翰·查理斯·哈萨尼对此提出了更确切的解释方法。

哈萨尼认为，在现实博弈中，每一种博弈的形势都受到一些微小的随机波动因素的影响。在标准的博弈模型中，这些影响表现为微小的独立连续随机变量，每个局中人的每一个策略均对应一个随机变量。这些随机变量的具体数值仅为相关局中人所知，这种知识即成为私有信息，而联合分布则是博弈者的共有信息，哈萨尼把这称为“变动收益博弈”。

在变动收益博弈中，各随机变量的数值影响着每一个博弈者的收益。在适当的技术条件下，变动收益博弈所形成的纯策略组合与对应无随机影响的标准博弈的混合策略组合恰好一致。实验证明，当随机变量趋于零时，变动收益博弈的纯策略均衡点转化为对应无随机影响的标准型博弈的混合策略均衡点。

变动收益博弈理论对混合策略均衡点提供了具有说服力的解释：局中人只是表面上以混合策略进行博弈，但实际上仍是在各种略为不同的博弈情形中以纯策略进行博弈。

所以，在生活中遇到这类问题时，我们只能按照惯例解决或者随机应变。一种解决方案是，原来打电话的一方再次负责打电话，而原来接电话的一方则继续等待电话铃响。这么做有个显而易见的理由：原来打电话的一方知道另一方的电话号码，反过来却未必是这样。另一种可能性是，一方可以免费打电话，而另一方不可以（比如他是在办公室而她用的是住宅电话）。

通常情况下还有另一种解决方案，即由较热切的一方主动再打电话。如一个“煲电话粥”成瘾的家庭主妇对谈话的热情很高，而她的同伴就未必这样，这种情况下通常是她再打过去。再如恋爱中的男女遇到这种情况，通常也是由主动追求者再打电话。

由此看来，基于变动收益博弈理论，在生活中遭遇由谁来打电话这类无法用理性得出最佳策略的问题时，按照惯例或随机应变不失为比较稳妥的选择。

猩猩胜过高明的炒股专家

拉文当年是一只6岁的猩猩，一只受雇于华尔街互惠基金的猩猩。它用掷飞镖方法，从133家互联网公司中选出它的投资组合。

有位学者还让拉文和一组专家进行炒股比赛的实验。专家们运用各种投资分析手段去选股，包括选什么股，何时买，何时卖，等等，无不经过了所谓“交易系统”的严格论证。相对来说，拉文的选股方法就简捷得多了。它随意地用飞镖投向一块写满股票代码的木板，只要投中哪只股票，就买哪只股票。这个指数1999年的回报高达213%，跑赢华尔街的大部分专业投资。

那些殚精竭虑的投资分析专家们精心挑选出来的投资组合，与一只猴子在股票报价表上用飞镖胡乱投射所选中的股票，在投资收益率上没有质的差别。也就是说，无法通过对历史数据的分析来预测股价未来的走向，这就是著名的“随机游走理论”。

随机游走理论是随机策略在投资领域的经典应用。有一个游戏叫做“一、二、三射击”或称“手指配对”。在这个游戏中，一个参与者选择“奇数”，另外一个参与者则得到“偶数”。数到三的时候，两个参与者必须同时伸出一个或者两个手指。假如手指的总数是偶数，就算“偶数”参与者赢；假如手指的总数是奇数，就算“奇数”参与者赢。

怎样才能保证自己不被对手所赢呢？有人回答：“闭着眼，瞎出”。这种方式运用到投资领域就是随机游走。

在随机游走理论中，股价有一个均值P，未来股价的Pn=Pεn（ε，音念艾普西隆）。εn为随机干扰变量，并且其均值为0。在这种情况下，股价的变化就像一个“醉汉”在路上横行。每一个时刻，他既可能往左走一步，也可能向右走一步。尽管股价这个“醉汉”总围绕着均值上下徘徊，但时间越长，他离均值就可能越远。

从随机游走理论中我们可以得出一个结论：市场是不可预测的。

投资大师彼得·林奇曾说过：“我每次演讲完毕回答现场观众提问的时候，总会有人站起来问我如何看待未来股市行情？没有一个人关心上市公司基本面，例如想知道固特异轮胎公司是不是一家可靠的公司或者它目前的股价水平是否合理。同时倒会有些人想知道牛市行情是否会持续下去，或者熊市是否已经露出狰狞的面目？我总是告诉他们我所知道的有关股市预测的唯一规则就是：每当我得到提升，股市就会下跌。我刚刚说完这句话，就会有其他人站起来问我下一次提升会在什么时候？”

如果证券价格是服从随机游走理论的，那么这个金融市场就是有效的。在这种情况下，所有的金融工具都能准确、及时地反映出各种信息。也就是说，各种证券都能被准确地定价，任何人与机构都不可能预测证券未来的价格。这样，就不存在入市的最佳时机，也不存在选择股票，更不存在金融分析。那些追求赌博带来刺激与兴奋的人，与小心翼翼地分析并选择金融资产的理性的投资者们也没有了任何区别。然而，事实上，在金融市场中，几家欢乐几家愁，总有人大发其财，更有人倾家荡产，这其中的原因并不都是命运，巴菲特、索罗斯就是例子。看来金融市场并不完全满足随机游走的有效市场假设。

在金融市场的炒作中，对预期收益率、预期利率以及一切有关的信息的估计，往往有超常规的放大效应。这使得金融资产如股票的价格不仅变换频繁，而且往往带有惊人的震荡幅度。比如美国道琼斯30种工业股票价格指数从1995年的5117.1点，到1998年年中突破9000点，只不过两年半的时间，竟然上升了75%。在亚洲金融危机中，不少国家的股票指数都有一天跌破10%的记录。

美国有6万名经济学家，他们中很多人被高薪聘请从事预测股票市场走势的专职工作，然而如果他们能够连续2次预测成功的话，他们可能早就成为百万富翁了。这应该能让我们认识到，这些经济学家预测股票市场变化的准确率是相当糟糕的。

另一个例子同样能说明股票市场的不可预测性。

在1981年7月和1982年11月间，美国发生了一次持续16个月的经济衰退。在这次长达16个月的衰退期间，失业率为14%，通货膨胀率为15%，最低贷款利率是20%。事后，很多人站出来说他们已经提前预测到这一切，但是衰退发生之前却没有一个人向公众说起过经济衰退将会发生。

然而，当80%的投资者都信誓旦旦地说我们即将回到20世纪30年代大萧条时期的时候，股市却突然出现了报复性的大反弹，让那些投资者的看法显得荒唐可笑。

由于市场的这种不可预测性，投资者与其去做各种分析，不如采取随机策略。当然，采取随机策略并不等同于毫无策略地“瞎出”，这里面仍然有很强的策略性。这种策略性的主要体现就是正确地认识市场，在正确认识的基础上应对它。

对于如何正确认识市场，“股神”巴菲特有着很独特的见解。

第一，市场总是（或经常是）错的。

第二，市场变化不定。他总会时不时地报出低得离谱的股价或愿意在价格高得荒谬的时候购买同样一只股票。

但你不可能预见到股市价格的未来变化趋势。

第三，市场先生是来侍候你的，不是来指导你的……如果你被他的情绪影响了，那将是灾难性的。

在这种正确理念的指导下，投资者需要做的就是用自己独立的价值标准去应对市场，去评价一只股票到底是便宜了还是贵了。

乱拳打死老师傅

一位学艺归来的拳师，与老婆发生了争执。老婆摩拳擦掌，跃跃欲试。拳师心想：“我学武已成，难道还怕你不成？”没曾想尚未摆好架势，老婆已经张牙舞爪地冲上来，三下五除二，竟将他打得鼻青脸肿，没有还手之力。事后别人问他：“既然学武已成，为何还败在老婆手下？”拳师说：“她不按招式出拳，我怎么招架？”

这就告诉我们，在与对手博弈时，随机策略看似不是章法，但却胜似章法。因为在博弈中，大家都是理性的人，一方采取某种策略，另一方都会进行理性推测进而做出相应的回应。此时，如果我们采取随机策略，让他摸不清我们的行动规律，便可巧妙战胜对手。采取随机策略的关键就是要让我们的策略具有不可预测性。

《吕氏春秋·淫辞》中记载了这样一个故事。

战国时期，宋康王异常暴虐。凡群臣中有来劝谏的，都被他以各种理由撤职或者关押起来。臣下因此对他更加反感，经常非议他。他十分苦恼地对宰相唐鞅说：“我处罚的人已经不少了，为什么他们还是不畏惧我呢？”唐鞅于是献计说：“您所处罚的，都是一些犯了法的人。惩罚他们，没有犯法的好人当然不会害怕。如果您要让您的臣子们害怕，就必须不区分好人坏人，也不管他犯法还是没有犯法，随便抓住就治罪。这样的话，大臣们就知道害怕了。”

唐鞅的建议，虽然不合理，却不能不说是把握了随机策略的精髓——不可预测性。能够预测的惩罚，大臣总会想方设法地加以规避，而无法预测的惩罚，却是防不胜防的，因而也是更令人心惊胆战的。

天宝十四载底（公元755年），安禄山假托圣旨讨杨国忠，起兵15万造反，派遣叛将令狐潮率重兵包围了雍丘（今河南杞县）。为了保卫雍丘，守将张巡留1000人守城，自己带领1000精兵，冲出城门。张巡身先士卒，冲进敌阵猛砍，士兵个个奋勇。叛军做梦也没想到张巡敢冲出城，被杀得措手不及、人仰马翻。

为了尽早攻下雍丘，令狐潮于第二天指挥士兵架起云梯登城作战。张巡率领士兵把用油浸过的草捆点着后抛下城去，登城的叛军被烧得焦头烂额，非死即伤。此后的60多天里，只要一有机会，张巡就突然出兵攻击，打得叛军不知如何应对。

在与叛军作战的过程中，张巡用计夺取了叛军的大量粮食和盐，但粮盐虽足，城中箭矢却已消耗得差不多了。张巡让士兵扎了许多草人，给它们穿上黑衣。当夜月色朦胧，张巡命令士兵用绳子把草人陆陆续续地缒下城去。城外叛军见这么多人缒城而下，纷纷射箭，一时间箭如飞蝗。射了半天，叛军发觉不对劲，因为他们始终没听到一声喊叫声，而且又发现一批刚拉上城去，另一批又坠下来。派人前去探查以后，他们方知所射的都是草人。在叛军大呼上当之时，张巡已收获1万多支箭矢。

为了储备足够的箭矢，第二天深夜，张巡又把外罩黑衣、内穿甲胄的草人从城上缒下去。叛军发现，乱射了一阵，发现又是草人。以后每天夜里，张巡都是如此。城外叛军渐渐知道是计，也不去射箭。于是，张巡决定发起总攻。一日，张巡把500名勇士趁夜色缒下城去，勇士们奋勇突进敌营。叛军一点准备也没有，立时大乱。接着，叛军的营房四处起火，混乱中死伤无数。最后，张巡率军直追杀出10余里，大获全胜。

上面这个故事中，叛军刚开始发现用箭射的都是草人时，以后当城墙上缒下东西，仍用箭去射是对的，但后来上当的次数多了，他们就乐观地以为再次缒下来的仍然是草人，结果张巡就缒下真人将他们杀得落花流水。张巡采用的这种方法就是博弈中的随机策略。

伟大的事业输在小概率事件上

如果一件事的发生概率只有几万分之一，或几十万分之一，就被人们称作小概率事件。统计学上可以将它忽略不计，因为它几乎不可能发生。

在日常生活中，我们可能在大街上与多年不见的人不期而遇或者是与陌生人不停地在不同的时间和地点相遇；当我们和某人正在谈论另外一个人的时候，另外一个人就立刻出现在我们的面前；我们也可能听说某人因车祸而失去生命，某人因购买彩票而中了大奖；某对夫妻的儿女在不同年份的同月同日生，等等。这些事情就是我们统计学中通常所说的小概率事件。

第二次世界大战的某个冬夜，在德国对莫斯科的一次空袭中，苏联的一名著名统计学教授出现在当地的一个空袭避难所中。在这之前，他从来没有出现在这样的地方。在他看来，莫斯科有700万居民，飞机炮弹击中他的概率是很小的。现在他突然出现在这里，使他的朋友大为不解，朋友询问是什么事情改变了他的想法。他回答：“虽然莫斯科有700万居民和1头大象，但昨天德国人炸死了那头大象。”

这是彼德·伯恩斯坦的《与天为敌》中的一个著名故事。

显然，这位统计学教授对小概率事件了如指掌，并能熟练运用。在一次空袭中，他被飞机炸死的概率只有约l/700万，所以他可放心地待在家里做他想做的事情。但后来情况发生了变化，德国对莫斯科轰炸的次数和强度陡然增加，因而他被飞机炮弹击中的概率增大（为各次被击中概率之和）。大象在一次空袭中被飞机击中的概率与他相同，也为约1/700万，属于小概率事件。在他来到空袭避难所之前，那头大象没有被炸死。但随着空袭次数的增加，大象被炸死了。这对他是一种警告或提醒，即如果他还不进空袭避难所，他很可能遭到与大象同样的命运。这就是他来到空袭避难所的原因。

这个故事至少给我们这样的启示：对不利的小概率事件，我们不必过于担心，该做什么就做什么，否则生活无法正常进行。因为现实生活中不利的小概率事件太多，如在遵守交通规则的情况下也可能发生交通事故。但如果在你的工作和生活中不可避免地经常伴随不利的同样小概率事件，那我们就要当心了，如经常到外地就要特别注意交通安全，因为发生交通事故的概率与出差次数是密切相关的。

我国湖北省历史上曾经发生过一场以少胜多的经典战役——赤壁之战。当时，东吴的周瑜在江南，只有3万兵力，而曹操在江北，有80万兵力。鉴于当时江中风浪大，不便于单个船只独立作战，曹操下令将所有战船相连，以减弱风浪颠簸的影响。当时曹操手下的一个谋士进言：“铁索连舟，万一火攻，岂不难以进退。”曹操听后大笑说：“若用火攻必借风力，如今隆冬，只有西北风。我军在北岸，他（周瑜）若用火，岂不反烧了自己。”然而，令曹操意想不到的是，交战那天居然刮起了东南风（小概率事件）。周瑜趁机用火，将曹操的所有船只烧毁。

可见，这个小概率事件瞬间改变了双方的交战结果。凭曹操的军事指挥才能和绝对兵力优势，取胜应该是在情理之中的事。然而，这个极其意外的小概率事件的突然发生，使他顿时失去兵力上的优势，大败于周瑜。

我们应该吸取曹操的教训，在制订重大决策问题的时候，不能只是考虑问题的主要方面，还要充分考虑到不利的小概率事件存在和发生的可能性。不然的话，一旦不利的小概率事件发生，后果将不堪设想。

十几年前，有一家和索罗斯的“量子基金”齐名的对冲基金，叫做“长期资本管理公司（Long Term Capital Management，简称LTCM）”。

LTCM的创始人是被称为能“点石成金”的华尔街债券套利之父约翰·麦利威瑟，其合伙人中包括罗伯特·莫顿和马龙·斯科尔斯，这两人被称为“现代金融学之父”，其中莫顿是著名经济学家保罗·萨缪尔森的高徒。在萨缪尔森给莫顿的《金融学》一书的序言中，他称赞这位弟子是现代金融理论界的“牛顿”。合伙人中还包括前财政部副部长及联储副主席大卫·穆林斯。这个精英团队内荟萃职业巨星、公关明星、学术大师，真可谓是梦幻组合。连巴菲特也承认，这是一群智商极高的人。

经济学也认为股价的波动是随机漫步。他们认为，对一只股票而言，看多和看空的人是完全随机的，如果股票受看多的人“撞击”就会上涨，反之就会下跌。而所有目前的消息都已经被有头脑的人反映在股价之中了，对于那些没有头脑的人来说，看多和看空的概率差不多，就互相抵消了。这便是“有效市场假设”。依据这套理论，他们组建了这个基金，并设计了复杂的模型来交易。

LTCM自从1994年成立开始，运气一直不错，连续四年获利丰厚，于是这两位经济学家顺理成章地在1997年得到了诺贝尔经济学奖，但他们的运气到1998年就到头了。他们失败的原因很简单，主要是模型不全面，没办法将所有情况都考虑到。而这一没被考虑到的小概率事件却真的发生了，1998年俄罗斯卢布暴跌。

“屋漏偏逢连夜雨”，金融危机有互相传染的倾向，LTCM公司在各处的投资都遭遇了失败。模型中认为不太可能发生的小概率事件竟然相继发生了。这时候的LTCM能做的只有坐以待毙，因为它使用的杠杆比例实在是太高，原本这给自己带来了巨额利润，现在却死死地掐住了自己的脖子。短短几个月，LTCM就损失了43亿美元，走到了破产的边缘。

历史数据的统计过程往往忽视了一些概率很小的事件，这些事件随着时间的推移和外部环境的改变，都有可能发生。一旦发生，将会改变整个系统的风险，造成致命打击。LTCM没有想到的是，1998年的俄罗斯金融风暴居然使这样的小概率事件发生了。受俄罗斯金融风暴的影响，LTCM严重亏损。为避免LTCM倒闭给全球金融市场带来震动，格林斯潘当年连续三次降息，可见当时LTCM的情况有多么糟糕。

所以，我们在博弈中，一定要预防不利的小概率事件发生，即使是一些看不起来微不足道的小事，在最初的时候都应该加以考虑。