第六单元 多边形及其内角和

夯实基础

1.如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为2880°，那么它的一个内角数为（ ）.

A.140°

B.150°

C.160°

D.170°

2.如果多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（ ）.

A.四边形

B.五边形

C.六边形

D.七边形

3.有两个多边形，如果它们都是各边相等，各内角相等的多边形，且这两个多边形的边数之比为1∶2，内角和之比为3∶8，则这两个多边形的边数分别是（ ）.

A.4，8

B.5，10

C.6，12

D.7，4

4.若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是________边形.

5.如果四边形的四个内角度数之比为1∶2∶2∶3，则这四个内角的度数分别________.

6.多边形的边数每增加一条时，其内角和 ，外角和________.

7.n边形的内角和与外角和之比为7∶2，则边数为________.

8.已知：一个多边形的所有内角都相等，每个外角都等于相邻内角的，求这个多边形的边数.

9.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，试求这个多边形的边数.

10.已知：多边形ABCD中，∠A+∠C=160°，∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3，求它的四个内角的度数.

拓展提高

1.一个多边形剪去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数为（ ）.

A.13

B.14

C.15

D.15或17

2.一个多边形的每一个内角都相等，且外角小于45°，则这个多边形的边数最小是（ ）.

A.7

B.8

C.9

D.10

3.如果一个多边形中有三个角都相等，其余各角的外角都等于30°，则这个多边形的边数不可能为（ ）.

A.15

B.10

C.6

D.4

4.一个凸多边形的内角和小于2004°，那么它的边数的最大值是（ ）.

A.11

B.12

C.13

D.14

5.一个多边形的每个外角都相等，且比它的内角小140°，则这个多边形是________边形.

6.若两个多边形的边数之比为2∶3，两多边形内角和共1980°，则这两个多边形的边数分别是.

7.如果一个多边形的边数增加1，它的内角和增加，则这个多边形的边数是________.

8.一个凸n边形有且只有两个内角是钝角，则n的最大值是________.

9.小军在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了以后，重新检查，发现是少加了一个内角，问这个内角是多少度？他求出的是几边形的内角和？

10.如图所示，五边形ABCD中，∠C=60°，∠A=135°，∠DEF=105°，∠EDF=30°.

（1）求∠F的度数；（2）AB与CD之间是否存在某种关系，并说明你的结论.

如果一个凸多边形的所有内角从小到大的排列，恰好依次增加相同的角度，设最小的角为100°，最大角为140°，那么这个多边形的边数是多少？

冲刺竞赛

1.探究题：我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图的△ABC中，AB、BC是两腰，所以∠BAC=∠BCA.利用这条性质，解决下面的问题：

已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O，它们所夹的锐角为α1，α2， α3.如图所示.

α1=_________， α2=________， α3=_________

当正多边形的边数是n（n＞3）时，则α=________.

2.已知：如图所示，在六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F，猜想可得六边形ABCDEF中必有两条边是平行的.

（1）根据图形写出你的猜想：________∥__________.

（2）请证明你在（1）中写出的猜想.

3.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案.也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不相互重叠（在几何里叫做平面镶嵌）.这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形.

（1）请根据下列图形，填写表中空格.

（2）如图所示，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形.

（3）不能用正五边形形状的材料铺满地面的理由是什么？

（4）正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图），并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由.

4.阅读理解：

如图1所示，在正△ABC中，M、N分别在BC、AC边上，若∠A M N=60°，则∠1=∠2.小强是这样论证的：

因为△ABC是正三角形，所以∠B==60°，所以∠A M C=∠1+∠B=∠1+60°.

又∠AMC=∠2+∠AM N，∠AM N=60°，所以∠AMC=∠2+60°.所以∠1=∠2.

（1）类比应用：如图2所示，将阅读理解中的正三角形换成四边形ABCD，M、N分别为BC、CD上的点，类似地：若∠AMN=_______，则∠1=∠2.请你用小强的证明方法论证.

（2）拓展延伸：请你将上述命题推广到一般，如图3所示，ABCDEF…是正n边形.写出命题：___________________.

5.如图所示，在四边形ABCD中，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线相交于点F，若∠A=α，∠D=β：

（1）如图1所示，α+β＞180°，试用α，β表示∠F，直接写出结论；

（2）如图2所示，α+β＜180°，请在图（b）中画出∠F，并试用α，β表示∠F；

（3）一定存在∠F吗？如有，写出∠F的值，如不一定，直接写出α，β满足什么条件时，不存在∠F.

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