1.3 梯度、散度和旋度的比较

本章重点介绍难度较大的场点性质，为了进一步对三个度做比较，不妨用矢性微分算符将三个度定义式及在直角坐标系中的表达式重新列在下面，便于对比分析。我们已经得到

通过对上面数学表达式的观察，下面来解读它的物理意义。

（1）三个度均用于描述某点场的空间变化率，但变化方式不同，揭示了场的特性也不同。

从三个度的定义式可知，标量场的线密度及矢量场的通量体密度和环量面密度，都是用于描述某点邻域内的空间变化率，其中梯度和旋度定义在最大变化率方向。场分布是用解析函数来表示的，要求在所考虑的点连续、可导，矢性微分算符恰好具有描述方向的矢量性和描述空间变化率的可微性，所以用算符“▽”统一来表达场的场点共性，既能解释场的物理意义，又便于进行矢量分析和计算。 为，和。在图1.27（a）中表示标量场在某点穿过微分变量为du（取u=Φ）的两个等位面时，沿an方向比沿任意l方向经过的路径最短，表示标量位的梯度是一个矢量，它描述了某点在最大变化率的等值面法线方向上场的变化规律。在直角坐标系中，an分解为ax，ay和az，（）分解

在图1.27（b）中，辐射状的矢量线如果表示为直角分量形式，由矢量场的散度表达式可知，矢量场的散度是一个标量，它描述了某点场分量沿各自方向上的变化规律，称为纵场。在直角坐标系中，Fx，Fy和Fz分别对各自方向的x，y和z求偏导。

在图1.27（c）中，闭合回旋状的矢量线如果表示为直角分量形式，由矢量场的旋度表达式可知，矢量场的旋度是一个矢量，它描述了某点场分量沿与其垂直方向上的变化规律，称为横场。在直角坐标系中，Fx对垂直方向上的y和z求偏导，Fy对垂直方向上的z和x求偏导，Fz对垂直方向上的x和y求偏导。

三个度以不同的变化规律揭示了不同场的特性。

（2）三个度均用于表达某点场与场源的相依关系，不同变化规律的场对应于不同性质的场源。

在图1.27中，图1.27（b）和图1.27（c）分别表示矢量场的散度场和旋度场。其中散度场（或无旋场）对应于散度源（或通量源），旋度场（或无散场）对应于旋度源（或旋涡源）。图1.27（a）表示标量场的梯度场。事实上，标量场可以看做矢量场的辅助描述函数，图1.27（a）表示的梯度场与图1.27（b）表示的散度场等值反号，如图1.24所示的电场强度与电位的关系一样，图1.27（a）和图1.27（b）分别以间接和直接形式描述了相同点源所产生的场。由此可知，标量场的梯度场（或位场）对应于散度源（或通量源）。

（3）标量场的梯度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数，矢量场的旋度是矢量函数，这些函数分别表示梯度场、散度场和旋度场。

图1.27 梯度场、散度场和旋度场的图示比较