1.1 逻辑代数的基本运算

逻辑代数是讨论逻辑关系的一门科学，在19世纪中叶，由数学家乔治·布尔创立，故也称为布尔代数。与普通代数相比，虽然变量同样也用A、B、C、D…表示，但其取值只有0和1两种。0、1并不表示数值的具体大小，只表示两种完全相反的逻辑状态，如开关的断开与闭合、电路的截止与导通、信号的有与无等，所以也称为开关代数。在研究实际问题时，0、1所代表的意义由具体的研究对象而定。由于逻辑取值只有0、1，所以它具有自身的特殊规律。

1.1.1 三种最基本的逻辑运算和门电路

基本的逻辑关系只有三种：逻辑与、逻辑或、逻辑非。与之相对应的逻辑代数也有三种基本运算：与运算、或运算、非运算。对应的基本逻辑门有与门、或门、非门。

1.与逻辑（与门）

决定某一结果的所有条件同时具备时，结果才会发生，这种“缺一不可”的因果关系称为逻辑与。如图1-1（a）所示两个串联开关控制一盏灯就是一种与逻辑的实例，只有开关A、B同时闭合时灯才会亮。如果把开关闭合用“1”表示，断开用“0”表示；灯亮用“1”表示，灯灭用“0”表示（称为逻辑赋值），并把输入、输出变量所有相对应的逻辑取值（状态）列在同一个表格内，就可得到与逻辑函数的真值表（见表1-1）。从表1-1可知，其逻辑关系服从“有0出0，全1才出1”的规律。这种与逻辑可表达为

此式称为与逻辑式，也可用逻辑符号（见图1-1（b））表示。实现与逻辑运算的门电路称为与门。由二极管组成的与门电路如图1-1（c）所示。逻辑与也叫逻辑乘。

2.或逻辑（或门）

决定某一结果的诸多条件中，只要有一个或一个以上条件具备时，结果就发生，这种“有一即可”的因果关系称为或逻辑。图1-2（a）所示两个并联开关控制一盏灯就是一个或逻辑实例，只要A、B中有一个开关闭合灯就会亮。与前面的逻辑赋值相同而得到或逻辑真值表如表1-2所示，其逻辑关系服从“有1出1，全0才出0”的规律。这种或逻辑的逻辑表达式为

其逻辑符号如图1-2（b）表示。实现或逻辑关系的电路叫或门。由二极管组成的或门电路如图1-2（c）所示。逻辑或也叫逻辑加。

3.非逻辑（非门）

条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事件发生，这种因果关系称为逻辑非，也称逻辑求反。图1-3（a）就是逻辑求反的实例。用前面相同的逻辑赋值，可得真值表（见表1-3）。非逻辑的逻辑式为

其逻辑符号如图1-3（b）所示。实现逻辑非的电路叫非门，也叫反相器。由三极管构成的反相器如图1-3（c）所示。

1.1.2 复合逻辑运算（复合门）

人们在研究实际问题时发现，事物各个因素之间的关系往往比单一的与、或、非复杂得多，但都可用与、或、非的组合来描述。含有两个或两个以上基本逻辑运算的逻辑函数称为复合逻辑函数。最常用的有与非、或非、与或非、异或、同或等运算，其逻辑式、逻辑符号及真值表见表1-4。