1.1.2 发展历程

17世纪微积分的创立和发展，使人们掌握了探索大自然奥秘的一个强有力的工具。但是直到 1740 年以后，才从弹性物体的变形和流体的运动等物理问题的研究，导致偏微分方程的诞生，而且从它的诞生开始就和其他学科紧密相关联。

在力学中，由牛顿的引力理论产生了引力势的概念，它满足拉普拉斯方程或泊松方程。在连续介质力学中，从质量、动量、能量守恒原理出发，导出了流体力学中的Navier-Stokes 方程组（有粘性）和欧拉方程组（无粘性），弹性力学中的圣维南方程组（de Saint-Venant system of equations）等。在物理学中波的传播由波动方程描述，传热和扩散的现象则归结为热传导方程。这些都是古典的偏微分方程。值得注意的是，往往同一个偏微分方程可以描述很多种性质上很不相同的物理现象。

微积分方程这门学科产生于18世纪，欧拉在著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在其著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。1746年，达朗贝尔在论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式，从而开创了偏微分方程这门学科。

偏微分方程得到迅速发展是在 19 世纪，数学物理问题的研究开始繁荣，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。值得一提的是法国数学家傅里叶，在从事热流动的研究中写出了《热的解析理论》一书，该书提出三维空间的热方程也是一类偏微分方程。这对偏微分方程的研究产生了很大的影响。

实际物理现象有时会复杂得多，例如考虑带电流体在磁场中运动时，就有电磁流体力学方程组，它是麦克斯韦方程和流体力学方程的耦合；又如化学反应和扩散相耦合，就有反应扩散方程，它是化学反应方程和扩散方程的耦合；诸如此类的还有其他各种耦合方程（组）。

对于偏微分方程，需要求出各种典型问题的解，通过和实验结果的对照来检验相应的物理理论。求解偏微分方程，会使人们对相应的自然现象有更深的认识，并能预见新的现象，在工程设计中，它能向人们提供必要的数据和指导性意见，使工程建设有坚实可靠的基础。

随着物理学的进步，必将出现更多的偏微分方程，而且其应用范围也会远远超过传统的力学、天文学、物理学等领域，例如经济学、社会科学、化学、生命科学等，都已经在不同程度上应用偏微分方程来解决所遇到的问题。