1.4 计算机中的数制和编码基础

计算机的工作过程就是对数据进行处理。计算机是一个典型的数字化设备，它只能识别0和1，所有的计算机都是以二进制数的形式进行算术运算和逻辑操作的。

1.4.1 计算机中的数制及转换

1．计算机中的数制

计算机最早是作为一种计算工具出现的，所以最基本的功能是对数进行加工和处理。数在机器中是以器件的物理状态来表示的。一个具有两种不同的稳定状态且能相互转换的器件可以用来表示1位（bit）二进制数。二进制数有运算简单、便于物理实现、节省设备等优点，所以目前在计算机中的数几乎全部采用二进制表示。但是二进制数书写起来太长，且不便于阅读和记忆，又加上目前大部分微型计算机是8位、16位或32位的，都是4的整数倍，而4位二进制数即是1位十六进制数，所以微型计算机中的二进制数都采用十六进制数来表示，日常生活中我们主要使用十进制数。因此在使用微型计算机时常用的计数制有二进制数、十六进制数、十进制数3种。

（1）十进制数（Decimal）

以10为基数的计数制称为十进制计数制。十进制数有如下两个特点：

① 有0～9共10个不同的数码。

② 在加法中采用逢10进1的原则。

人们在实际生活中常用的是十进制数。

（2）二进制数（Binary）

以2为基数的计数制称为二进制计数制。二进制数有如下两个特点：

① 有0、1共2个不同的数码。

② 在加法中采用逢2进1的原则。

计算机中使用的是二进制数。

（3）十六进制数（Hexadecimal）

十六进制是人们学习和研究计算机中二进制数的一种工具，它是随着计算机的发展而广泛应用的。十六进制数有如下三个特点：

① 有0～9、A、B、C、D、E、F共16个不同的数码。

② 在加法中采用逢16进1的原则。

③ 在书写一个十六进制数时，如果该数据的高位为A～F，则在高位的前面加“0”，如0AH、0EFH、0FEABH、0CB98H等。

十进制数、二进制数和十六进制数之间的关系如表1-4所示。

为了区别十进制数、二进制数及十六进制数三种数制，可以在数的后面加1个字母。规定B（binary）表示二进制数，D（decimal）表示十进制数，H（hexadecimal）表示十六进制数，其中十进制数后面的字母D可以省略。

2．各种数制之间的转换

人们习惯的是十进制，计算机采用的是二进制，而二进制的表示多采用十六进制，因此必须掌握数制的转换问题。

（1）二进制数和十六进制数间的相互转换

根据表1-4所示的对应关系即可实现它们之间的转换。

二进制整数转换为十六进制数，其方法是从右（最低位）向左将二进制数分组：每4位为1组，最后一组若不足4位则在其左边添加0，每组用1位十六进制数表示。如：

1111111000111B=1FC7H

十六进制数转换为二进制数，只需用4位二进制数代替1位十六进制数即可。如：

3AB9H=0011101010111001B

（2）十六进制数和十进制数间的相互转换

十六进制数转换为十进制数十分简单，只需将十六进制数按权展开即可。如：

十进制整数转换为十六进制数可用除16取余数法，即用16不断地去除待转换的十进制数，直到商等于零为止。将所得的各次余数，依倒序排列，即可得到所转换的十六进制数。例如，将38947转换为十六进制数，即38947=9823H。其方法及算式如图1-15所示。

一个十进制小数转换成十六进制小数时，可采用乘16取整的方法进行。例如，将十进制数0.7875转换为十六进制数，转换结果为0.7875D=0.C99H。其方法和算式如图1-16所示。

注意小数转换不一定能算尽，只需算到一定精度的位数即可，因此可能会产生一些误差，但当位数较多时，这个误差就很小了。

如果一个十进制数既有整数部分又有小数部分，可将整数部分和小数部分分别进行十六进制数的等值转换，然后合并即可得到结果。

1.4.2 带符号数的表示

1．机器数与真值

计算机在处理实际问题时所遇到的数据通常是带符号数。在计算机中，对于带符号数来说，一般用最高位表示数的正、负。对于正数，最高位规定为“0”，对于负数，最高位规定为“1”，例如：

56H可以表示01010110B（对于8位二进制数来说，D7位表示数的正负，D6～D0表示数的绝对值），-56H可以表示11010110B。

0256H可以表示0000 001001010110B（对于16位二进制数来说，D15位表示数的正负，D14～D0表示数的绝对值），-0256H可以表示1000 001001010110B。

在计算机中，用二进制数表示有符号数，用最高位表示符号，其余的为数值位，这样一组连同符号也编码化的二进制数称为机器数，机器数所代表的数值大小称为机器数的真值。

【例1-2】 写出X1=+42，X2=-42，X3=+91，X4=-91的真值和机器数。

设机器的字长为8位，则有：

[X1]真=+101010B=+42，X1的机器数为00101010B。

[X2]真=-101010B=-42，X2的机器数为10101010B。

[X3]真=+1011011B=+91，X3的机器数为01011011B。

[X4]真=-1011011B=-91，X4的机器数为11011011B。

2．机器数的原码、反码、补码

数据在计算机内采用符号数字化处理后，机器可表示并识别带符号的数据。为了改进运算方法、简化控制电路，人们研究出多种有符号数的编码形式，最常用的有三种方法，即原码、反码、补码表示法。

数X的原码记为[X]原，反码记为[X]反，补码记为[X]补。

（1）原码表示法

对于带符号数来说，用最高位表示数的正负，其余各位表示数的绝对值，这种表示方法称为原码表示法，即仅将符号位数字化表示为0或1，数的绝对值与符号一起编码，或者称为“符号-绝对值”的编码。

原码表示的特点如下：

① 最高位为符号位，正数为0，负数为1。

② 8位二进制原码表示数的范围是-127～+127，十六位二进制原码表示数的范围是-32767～+32767。

③ 0的原码有两种表示方法，即+0和-0，设字长为8位：

[+0]原=00000000B

[-0]原=10000000B

采用原码表示时，编码简单直观，但也带来一些麻烦，一是引起机器中“零”的表示不唯一，零有二义性，给机器判零带来麻烦，必须在设计时约定好机器采用正零或负零；二是不便于进行加减运算。用原码进行四则运算时，符号位需单独处理，而且原码加减运算规则复杂。例如对有符号数的加法规则为：若两个数同号，两数绝对值相加，结果冠以共同的符号；若两个数异号，两数绝对值相减，结果冠以绝对值大的数值的符号。而减法又有一套规则。故原码表示法一般不用于加减运算。

（2）反码表示法

正数的反码与原码相同，如[56H]反=[56H]原=01010110B。

负数的反码等于原码除符号位外，其余各位按位取反。因此，求-56H反码的过程如下：

对应正数56H的原码为0101 0110B；按位求反后为1010 1001B，即-56H的反码为10101001B。

反码的特点：

① 反码表示法中，最高位仍为符号位，正数为0，负数为1。

② “0”有两种表示方法：当字长是8位时，[+0]反=00000000B，[-0]反=11111111B。

③ 8位二进制反码表示数的范围是-127～+127，16位二进制反码表示数的范围是-32767～+32767。

④ 正数的反码与原码相同，负数的反码符号位为1，其数值部分按位取反。

（3）补码

在计算机内，带符号数并不是用反码表示的，而是用补码表示的，引入“原码”、“反码”的目的只是为了方便理解“补码”的概念而已。

不用原码表示的原因是：用原码表示时，“0”的原码并不唯一，0的原码可以表示为00000000B（即+0），也可以表示为10000000B（即-0），这会造成混乱；再就是用原码表示时，减法并不能转化为加法运算，反码也存在类似的问题。在计算机中，带符号数用补码表示后，减法可以转化为加法运算，例如：

① 100H是8位二进制能表示的最大数，加上100H后，对计算结果没有影响，原因是8位二进制无法存放100H中的“1”，即D8位。

② 由于8位二进制不能存放D8位，结果133H中最高位“1”自然丢失。

显然，56H-23H的结果与56H+0DDH的结果相同，即引入补码后，减法可以用加法来完成。可见，在8位二进制中，23H与0DDH互为补码。

下面以钟表为例进一步理解补码的问题。对一个现实生活中的钟表来说，现在时钟指在11时，需要调校到6时，则可以顺时针拨11+7=12+6=6；也可以逆时针拨11-5=6。这里，自动丢失的循环最大值（12）称为模，即当模是12时，11-5=12+7=6，其中7称为-5的补码，即

(-5)补=12-|-5|=7

依次类推，对于n位（如8位）二进制而言，其模为2n（28），则（负数）补=2n-|负数|。

补码的定义如下：

正数的补码与反码、原码相同；负数的补码等于它的反码加1。

例如，+23H的补码：00100011B；-23H的补码：-23的原码为10100011B，-23H的反码为11011100B；反码加1后为11011101B，即-23H的补码为11011101B（相当于无符号数的0DDH）。

可见，用补码表示时，若最高位为0，表示该数为正数，数值部分就是真值；若最高位为1，则表示该数为负数，数值部分并不是它的真值，必须再求补后，才得到该数的绝对值，如上例中的-23H的补码为11011101B，按位取反后为00100010B，加1后为00100011B，即23H。

补码的特点：

① 补码表示中，最高位仍为符号位，正数为0，负数为1。

② 0仅有一种表示方法，即[+0]补=[-0]补。

③ 8位二进制补码表示数的范围是-128～+127，16位二进制补码表示数的范围是-32768～+32767；对于同一个数，作为8位二进制数的补码和作为16位二进制数的补码不同，这一点要特别注意。

注意：对于8位二进制数10000000B，若为补码表示为[-128]补，若为原码表示[-0]原，若为反码表示为[-127]反。

关于补码，注意以下几点：

① 在微型计算机中所有带符号的数都是用补码表示的。一个数据是带符号的数还是不带符号的数，事先是已知的。

② 当求补码的真值时，例如8位的补码，若最高位为0时，其余7位即为此数的二进制数值。但当最高位为1（即负数）时，需要把其余7位求反以后最低位加1，才是它的二进制数的绝对值。例如：

[X]补=10010100B

[X]真=-(1101011)=-1101100B=-108D

③ 采用补码的目的在于可用加法运算代替减法运算，从而可以简化硬件结构，降低成本。

【例1-3】 计算64-10=？

【解】

64-10=54，可用[X]补=[64]补-[+10]补进行减法运算。而[64]补=01000000B，[+10]补=00001010B。运算如图1-17所示。

该运算也可写成下式：

64-10=64+(-10)=54

可用[X]补=[64]补+[-10]补进行加法运算。其中[-10] 补=11110110B，运算如图1-18所示。

故[X]补=00110110B。由以上运算可知，补码相加的结果与补码相减的结果是一致的。因此，可用补码相加代替补码相减的运算。

④ 补码运算时符号位不需要单独处理，符号位与数值部分一起参加运算，在不发生溢出的情况下，运算结果（包括符号位）是正确的。

8位二进制数用来表示有符号数、原码、反码和补码，如表1-5所示。

从表1-5 可以看出，8位二进制数，无符号数表示范围是0～255，有符号数原码表示范围中-127～+127，反码表示范围是-127～+127，补码表示范围是-128～+127。

3．带符号数溢出及其判断方法

（1）什么是溢出

在选定了运算字长和数的表示方法之后，如果运算的结果超出了计算机所能表示的数据范围，则称这种情况为广义上的溢出。

从严格意义上讲，广义上的溢出既包括带符号数的溢出，也包括无符号数的溢出，但下面把带符号数的数据结果超出表示范围称为溢出，而把无符号数的数据结果超出表示范围称为进位。因为对于无符号数的加减运算，无论运算的结果是否超出数据表示范围（在计算机字长范围内），运算结果都是正确的。而对于带符号数的加减运算，如果没有溢出，则运算结果是正确的，而如果产生溢出，则运算结果是错误的。

对于8位字长的微处理器，其原码、反码和补码表示的范围分别为

原码 -127～+127（0FFH～7FH）

反码 -127～+127（80H～7FH）

补码 -128～+127（80H～7FH）

当8位带符号数的运算结果超过以上范围时，就会产生溢出。

对于16位字长的微处理器，其原码、反码和补码表示的范围分别为

原码 -32767～+32767（0FFFFH～7FFFH）

反码 -32767～+32767（8000H～7FFFH）

补码 -32768～+32767（8000H～7FFFH）

当16位带符号数的运算结果超过以上范围时，就会产生溢出。

【例1-4】 已知X=01000000B，Y=01000001B，进行补码的加法运算。

【解】

[X]补=01000000B=+64

[Y]补=01000001B=+65

[X]补+ [Y]补=10000001B=-127

两个正数相加，其结果应该是+129，但运算结果为-127，这显然是错误的，其原因在于和数+129 > +127，超出了8位补码所能表示的最大值，使数值部分占据了符号位的位置，产生了溢出错误。

（2）判断溢出的方法

溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。利用双进位方法判断有无溢出是一种常用的方法，其规则如下：在两个同符号数相加或两个异符号数相减时，如果次高位向最高位有进位（或借位），而最高位向前无进位（或借位），则结果发生溢出；反之，如果次高位向最高位无进位（或借位），而最高位向前有进位（或借位），则结果也发生溢出。

这种方法是利用最高位和次高位的进位/借位状态进行“异或”来判断的。对8位二进制数来说，如果溢出记为OF，最高位和次高位的进位/借位状态分别记为C7和C6，则OF=C7⊕C6，当OF=1时表示有溢出，当OF=0时表示无溢出。

在微机中，可用多字节表示更大的数，避免产生溢出错误。

1.4.3 定点数和浮点数

计算机中运算的数有整数，也有小数。通常有两种规定：一种是规定小数点的位置固定不变，这时的机器数称为定点数；另一种是小数点的位置可以浮动，这时的机器数称为浮点数。微型计算机中常使用定点数。

1．定点数

所谓定点法，是指小数点在数中的位置是固定不变的，以定点法表示的实数称为定点数。根据小数点位置的固定方法不同，又可分为定点整数和定点小数表示法。前面介绍的整数均为定点整数，可以认为小数点固定在数的最低位之后。

如果小数点隐含固定在整个数值的最右端，符号位右边所有的位数表示的是一个整数，即为定点整数。例如，对于16位机，如果符号位占一位，数值部分占15位，于是机器数0111111111111111 的等效十进制数为+32767，其符号位、数值部分、小数点的位置示意如图1-19所示。

如果小数点隐含固定在数值的某一位置上，即为定点小数。

如果小数点固定在符号位之后，即为纯小数。假设机器字长为16位，符号位占一位，数值部分占15位，于是机器数1000000000000001的等效十进制数为-2-15，其符号位、数值部分、小数点的位置示意图如图1-20所示。

2．浮点数

所谓浮点数，是指计算机中数的小数点位置不是固定的，或者说是“浮动”的。在计算机中，浮点数法一般用来表示实数，可以采用“阶码表示法”来表示浮点数，它由整数部分和小数部分组成，一个实数可以表示成一个纯小数和一个乘幂之积。

采用浮点数最大的特点是，比定点数表示的范围大。

例如，对于十进制数56.725=102×0.56725；对于二进制数110.11=22×1.1011。

对于任何一个二进制数N，都可以表示为

N=(2±E)×(±S)

浮点数在计算机中的编码基本格式如图1-21所示。

其中，E称为阶码，阶码为0表示E为正，为1表示E为负。由此可见，小数点的实际位置随着阶码E的大小和符号而浮动决定；±S为全部有效数据，称为尾数部分。

例如，1001.011=20100×(0.1001011)。此处，0100部分称为阶码且为正，(0.1001011)部分称为尾数。

浮点数的格式多种多样。例如，某计算机用4个字节表示浮点数，阶码部分为8位补码定点整数，尾数部分为24位补码定点小数，如图1-22所示。

【例1-5】 描述用4个字节存放十进制浮点数“136.5”的浮点格式。

【解】 由于(136.5)10=(10001000.1)2，将二进制数“10001000.1”进行规格化，即

10001000.1=0.100010001×28

阶码28表示阶符为“+”，阶码为“8”的二进制数为“0001000”；尾数中的数符为“+”。小数值为“100010001”。

十进制小数“136.5”在计算机中的表示如图1-23所示。

在实际应用时，由于阶码指数可使用不同的编码（原码、补码等），尾数的格式和小数点的位置也可以有不同的规定，所以浮点数的表示方法不唯一，不同的计算机可以有不同的规定。

1.4.4 计算机中常用的编码

计算机除了用于数值计算外，还要进行大量的文字信息处理，也就是要对表达各种文字信息的符号进行加工。例如计算机和外设如键盘、（字符）显示器、打印机之间的通信都采用字符方式输入/输出。目前计算机中最常用的两种编码是美国信息交换标准代码（ASCII码）和二-十进制编码（BCD码）。

1．美国信息交换标准代码（ASCII码）

ASCII（American Standard Code for Information-Interchange）码是美国信息交换标准代码的简称，主要给西文字符进行编码。它采用7位二进制数表示一个字符，包括32 个标点符号，10个阿拉伯数字，52个英文大小写字母，34个控制符号，共128个。编码与字符之间的对应关系如附录A所示。

在计算机系统中，存储单元的长度通常为8位二进制数（即一个字节），为了存取方便，规定一个存储单元存放一个ASCⅡ码，其中低7位表示字母本身的编码，第8位（即bit7）用做奇偶校验位或规定为零（通常如此）。因此，也可以认为ASCII码的长度为8位。

奇偶校验的主要目的是用于在数据传输过程中，检测接收方的数据是否正确。收发双方预约为何种校验，接收方收到数据后检验1的个数，判断是否与预约的校验相符，倘若不符，则说明传输出错，可请求重新发送。奇校验时，bit7的取值应使得8位ASCII码中1的个数为奇数；偶校验时，bit7的取值应使得ASCII码中1的个数是偶数。例如：

“8”的奇校验ASCII码为00111000B，偶校验ASCII码为10111000B。

“B”的奇校验ASCII码为11000010B，偶校验ASCII码为01000010B。

2．BCD码（二进制编码的十进制数）

十进制毕竟是人们最习惯的计数方式，在向计算机输入数据时，常用十进制数输入，但计算机只识别二进制数，因此每1位十进制必须用二进制数表示。1位十进制数包含0～9十个数码，必须用4位二进制数表示，这样就需要确定0～9与4位二进制数0000B～1111B之间的对应关系，其中较常用的8421BCD码规定了十进制数0～9与4位二进制数编码之间的对应关系，见表1-6。

例如，4567.89的BCD码为0100010101100111.10001001（每1位十进位数用相应的4位二进制数表示即可）。BCD码的一个优点就是10个BCD码组合格式容易记忆。一旦熟悉了4位二进制数的表示，对BCD码就可以像十进制数一样迅速自如地读出。同样，也可以很快地得出以BCD码表示的十进制数。例如，将1 个BCD数转换成相应的十进制数：

(011101101001.100100110101)BCD=769.935

BCD码采用4位编码，4位一组表示1位十进制数，分别表示十进制数的个位、十位、百位等，低4位对高4位的进位为“逢十进一”。它不是二进制数，而是按4位二进制数的展开值和按4位一组解释为十进制数。BCD码和二进制数之间的转换不能直接实现，二进制数转换为BCD码时，必须先将其转换为十进制数。例如，要将二进制数1101.1B转换为BCD码，首先需要将二进制数按权展开，转换为十进制数，再转换为BCD码：

1101.1B=1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1=13.5

13.5=(00010011.0101)BCD

同样，要将BCD码转换为二进制数，首先要把BCD码转换为十进制数，然后再转换为二进制数。

BCD编码可以简化人机关系，但它比纯二进制编码的效率低。对同一个给定的十进制数，用BCD编码表示的位数比用纯二进制表示的位数要多。而每位数都需要某些数字电路与之对应，这就使得与BCD码连接的附加电路成本提高，设备的复杂性增加，功耗较大。用BCD码进行运算所花的时间比用纯二进制码进行运算所花的时间要多，而且复杂。

计算机中存储BCD码的形式有两种：压缩BCD码和非压缩BCD码。

（1）压缩BCD码

压缩BCD码用4位二进制数表示1位十进制数，一个字节可以表示2位十进制数。例如10010111B表示十进制数97。

（2）非压缩BCD码

非压缩BCD码用8位二进制数表示1位十进制数，高4位总为0000，低4位的0000～1001表示0～9。例如00001001B表示十进制数9。

尽管BCD码比较直观，但BCD码与二进制数之间的转换并不方便，需要转换成十进数后，才能转换为二进制数，反之亦然。

前面介绍了在使用计算机时二进制数、十进制数、十六进制数、ASCII码、BCD码以及带符号数的表示等问题，这里要注意微型计算机能处理的数据只有二进制数，计算机并不认识什么正数、负数、BCD码、ASCII码等，计算机中数的表现形式只有二进制数，其他的数制和性质需要人们来进行分析与说明。如在某存储器中存放一个二进制数11111111B（0FFH），这个数多大？这要看人们如何看了，如果是一个无符号数，就是255；如果是一个有符号数，就是-1；如果是个BCD码，就是一个无效的数；如果是个ASCII码，就代表“DEL”键的ASCII码值。