第一章 质点的直线运动

考点、知识体系与方法

（一）考点及要求

（二）表征知识的基本方法

1.模型

本章建立了高中物理学中的第一个物理模型——质点，这就使得我们可以用一个点来标记物体的位置，借助矢量这个数学工具，建立位移、速度和加速度的概念，从而通过实验建立起一套描述质点运动规律的理论，我们将这套理论叫做运动学。

2.条件和形象思维

质点的运动是在时间和空间中完成的，因此描述质点的运动离不开时间条件和空间条件。分析时间条件、空间条件的一个最直观的方法就是用图形将它们标出来，构成一幅生动的质点运动的情景，将运动过程展现出来。质点经过两个或者以上的运动过程时，相邻的过程存在连接条件或者临界条件，这就需要有图形将变化展示出来。一旦情景搞清楚了，质点运动模型往往一目了然，根据条件寻找合适的规律，列方程就是水到渠成的事儿了。

3.算法

物理规律的表述方式有两种：文字表述和数学表述，而数学表述又可以分为代数表述和几何表述，其中代数表述就是我们熟悉的方程，几何表述就是函数图像。用方程和图像来表述物理规律是等价的！本章我们会用到代数的方法，如解方程（组）、求极值等，还会用到物理图像，如位移—时间（x-t）图像、速度—时间（v-t）图像，甚至加速度—时间（a-t）图像等。

高中阶段处理矢量运算时常用的方法是平行四边形定则和正交分解合成法（建直角坐标系，化矢量式为标量式）。本章开始就要熟练地掌握这两种方法。

（三）知识结构图

概念与规律精析

1.运动学概述

（1）机械运动。物体相对于某一参考系或坐标系的位置随时间的变化，叫做机械运动，简称运动。

（2）运动学。描述物体运动的物理量（位移、速度和加速度）随时间的变化，以及物体运动轨迹的几何特征的学科称为运动学，运动学的任务是对物体的运动做几何性的描述，而不对运动的原因进行研究。

（3）动力学。说明物体做某种运动的原因的学科，称为动力学。例如，用力、动量或能量的概念来描述运动，阐释其原因，说明其物理本质，就是动力学的任务。

（4）质点。当物体的几何尺寸，对所研究的问题的几何尺寸可以忽略不计时，物体就被看做一个几何点，可以用一个坐标(x,y,z)来表示。上述既是质点的定义，也是物体能否被看做质点的判据。

2.基本运动学量

（1）时间。时间表示运动的持续性。经典物理学认为时间均匀流逝，与空间和物体的运动无关。时间间隔和时刻的区别是：如果用数轴表示时间的话，如图1-1所示，时刻对应时间轴上的一点，时间间隔对应时间轴上的一条线段。

（2）空间、参考系与坐标系。

① 空间表示运动的延展性。

② 参考系是研究质点位置变化时所参照的物体。

③ 坐标系则是参考系的数学抽象。

（3）位置。在坐标系中，质点的坐标（x,y,z）表示质点所处的位置。质点的位置会因所选择的坐标系的不同而不同，是相对的。在一维情况下，我们只需要用一组一维数组x1,x2,…来表示物体的坐标。

（4）位移。质点由位置A运动到位置B，无论经历的路径如何，由位置B向位置A引一条有向线段——矢量，这个矢量就叫做质点的位移，如图1-2所示。位移的方向、大小与坐标系的选取无关，与经历的路径（其长度叫做路程）的选取也无关。在一维问题中，位移通常用Δx来表示，其大小为，其中位置x1和位置x2为代数量，本身可能具有符号，其方向为由x1指向x2的有向线段的方向。

位移和路程，都是描述物体位置变化的物理量，区别在于路程注重过程，而位移注重结果，如表1-1所示。仅当物体沿同一方向作直线运动时，二者大小相等。

表1-1

（5）速度。位移随时间的变化率叫做速度，速度是描述位移随时间变化快慢的物理量，是矢量，其方向与位移Δx方向相同，其大小由下式给出：

式中 x2——t2时刻质点所处的末态位置；

x1——t1时刻质点所处的初态位置。

上式是速度的定义式，其中特别地当所选时间间隔Δt无限趋于0时，此时该式定义的就是质点的瞬时速度，速度的大小叫做速率，瞬时速度的方向沿运动轨迹的正切线方向。如果Δt选取得较长，则上式定义的就是x1和x2之间的平均速度，即位移与所用时间的比值。平均速度的大小没有特殊的称谓，其方向与相同。物理学中将路程L和所用时间Δt的比值叫做平均速率。

（6）加速度。物体瞬时速度随时间的变化率叫做加速度，从字面上来理解，加速度就是“加速的程度”、加速度是描述速度随时间变化快慢的物理量，是矢量，其方向与速度的变化Δv方向相同，其大小由下式给出：

式中 v2——t2时刻质点的末速度；

v1——t1时刻质点的初速度。

上式是加速度的定义式，特别地，当所选时间间隔Δt无限趋于0时，此时上式定义的就是质点的瞬时加速度。一种描述瞬时加速度方向的方法是将该点的加速度沿着轨迹的法向和切向分解（自然坐标系），如图1-3所示，其中法向分量an只改变速度的方向，而不改变速度的大小；切向分量aτ则只改变速度的大小，而不改变速度的方向。加速度的决定式是牛顿第二定律，即a=F/m。

此外，从加速度的定义式可以看出加速度的方向与某时刻速度的方向之间没有必然联系，它们之间的夹角可以是任意值，但加速度的方向与速度的改变量的方向相一致！

位移、速度和加速度之间的关系，如图1-4所示。

（7）运动方程。描述物体位置随时间变化的方程，叫做运动方程，对于一维问题运动方程的一般形式为，二维问题运动方程的一般形式为。其中时间t作为一个参数，可以消去，就得到轨迹方程，以平抛运动为例：

3.质点运动形式的判据

高中阶段，我们常会遇到以下两个质点运动形式的判据：

（1）当质点的初速度与加速度平行时，质点做直线运动。

（2）当质点的初速度与加速度不平行时，质点做曲线运动。

4.一般直线运动的基本规律

要精确描述一般直线运动，要用到微积分。在高中阶段，我们只用平均速度来粗略地刻画一般直线运动，即

这个处理就相当于把一般直线运动的细节（如速度、加速度、时刻变化等）抹去了，用一个“匀速直线运动”来等效代替复杂的一般直线运动。

5.匀变速直线运动的规律

1）物理图像的一般性描述

物理图像源于数学图像。数学图像由六个要素组成：坐标轴、坐标点、曲线、曲线的截距、斜率和曲线与坐标轴所围成的面积。其中坐标轴是构成图像的基础，在此基础上才能存在坐标点，坐标点的运动就形成了曲线。人们用截距（边界条件）、斜率（变化率）、与坐标轴所围成的面积来描述曲线的种种性质。

将上述数学图像直接平移过来，得到物理图像的六要素，其物理意义如表1-2所示。

表1-2

2）匀变速直线运动的规律

如图1-5所示为匀变速运动曲线。如表1-3所示，介绍了匀变速直线运动涉及的公式。

表1-3

3）匀变速直线运动其他一些常用的结论

（1）如图1-6（a）和图1-6（b）所示，1T内，2T内，3T内，…，nT内的位移x1，x2，x3，…，xn之比为

（2）如图1-6（a）和图1-6（b）所示，1T末，2T末，3T末，…，nT末的速度v1，v2，v3，…，vn之比为

（3）如图1-6（a）和图1-6（b）所示，第1个T内，第2个T内，第3个T内，…，第n个T内的位移x1，x2，x3，…xn之比为

（4）如图1-6（c）所示，从静止开始通过第1个Δx，第2个Δx，第3个Δx，…，第n个Δx所用的时间t1，t2，t3，…，tn之比为

6.几种图像的对比

如表1-4所示为x-t、v-t、a-t三种图像的对比。

表1-4

7.匀变速直线运动的几个特例

如表1-5所示，介绍了匀变速直线运动的几个特例。

表1-5

例题详解

【例1-1】 相距为L的A、B两地，一汽车用时间T由A地到B地，问：（1）全程内的平均速度是多少？（2）若汽车在由A地到B地的过程中，前一半时间的平均速度是v1，后一半时间的平均速度是v2，则全程内的平均速度是多少？（3）若汽车在由A地到B地的过程中，前一半位移的平均速度是v1，后一半位移的平均速度是v2，则全程内的平均速度是多少？

解＜模型分析＞对象模型：汽车——可视为质点。过程模型：一般直线运动（至少不是匀速直线运动和匀变速直线运动）；模型对应规律只有平均速度的定义

（1）依照题意，作出情境图，如图1-7所示。

根据平均速度的定义，有

（2）依照题意，作出情境图，如图1-8所示。

根据平均速度的定义，有

且

所以，根据第（1）问，有

（3）依照题意，作出情境图，如图1-9所示。

根据平均速度的定义，有

且

所以，根据第（1）问，有

【点拨与提高】 物理概念是讨论物理问题的基础，而物理概念的定义更是物理概念的本质和精粹，抓住物理概念的定义进行计算和推导，这时几笔画出的情境图就发挥了作用。还有一点要说明，问题中的3个平均速度都是相等的，之所以叫平均速度，就是忽略中间的运动细节之后，从整体上算得的速度。

【例1-2】 如图1-10所示为高速摄影机拍摄的子弹穿透苹果瞬间的照片，该照片经放大后分析出，在曝光时间内，子弹影像前后错开的距离为子弹长度的1%～2%。已知子弹飞行速度约为500m/s，由此可估算出这幅照片的曝光时间最接近（ ）

A.10-3s B.10-6s

C.10-9s D.10-12s

解＜模型分析＞对象模型：子弹。过程模型：子弹在曝光瞬间的运动看做匀速直线运动；模型对应规律：v=Δx/Δt，如果确定位移和速度，即可算出曝光时间。此题为估算题，估算题不能蒙，必须根据物理规律来回答。

＜条件分析＞影像前后错开的距离就是子弹在曝光时间内的位移。此题同时也是一道数量级估计的题。

位移：子弹的长度应当是若干厘米的数量级，也就是10-2m数量级，根据题设条件，错开的距离（位移）是子弹长度的1%～2%，即10-2×0.01m=10-4m数量级；

速度：子弹的速度是500m/s，也就是102m/s数量级；

因此，相应的时间为

所以，答案选B。

【例1-3】 一人看到闪电12.3s后又听到雷声。已知空气中的声速为330～340m/s，光速为3×108m/s，于是他用12.3除以3很快估算出闪电发生位置到他的距离为4.1km。根据你所学的物理知识可以判断（ ）

A.这种估算方法是错误的，不可采用

B.这种估算方法可以比较准确地估算出闪电发生位置与观察者间的距离

C.这种估算方法没有考虑光的传播时间，结果误差很大

D.即使声速增大2倍以上，本题的估算结果依然正确

解＜模型分析＞对象模型：两个研究对象，光的运动和声的运动。过程模型：这两种运动在空气中都可以近似认为是匀速运动。

＜条件分析＞已知空气中的声速为330～340m/s，光速为，光速远大于声速，因此简化为光运动的时间趋近于零，而雷声运动的时间接近12.3s。闪电发生位置到人的距离：s=vt=12.3×330m≈4.1km。B正确。

【例1-4】 （2008年，上海）某物体以30m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10m/s2，5s内物体的（ ）

A.路程为65m B.位移大小为25m，方向向上

C.速度改变量的大小为10m/s D.平均速度大小为13m/s，方向向上

解＜模型分析＞对象模型：某物体，可以看做质点。环境模型：匀强重力场；过程模型：竖直上抛运动。

＜条件分析＞初始条件：v0=30m/s；时间条件：自抛出之后5s的时间。

方法1：物体抛出后，由于初速度与加速度方向相反，所以物体将做匀减速直线运动，当速度减为0时，物体达到最大的上升高度，如图1-11所示。设物体上升到最大高度所经历的时间为t0，选竖直向上为正方向，有

相应的最大高度为

可见，当物体运动到题设的5s的时候，物体已经处于下落的过程中，因此，物体从最高点自由下落2s的高度和速度为

所以，5s内运动的路程为L=hmax+h0=65m，所以A选项正确；

5s内位移的大小为Δx=hmax-h0=25m，方向竖直向上，所以B选项正确；

5s内速度的变化量为Δv=v-v0=-20m/s-30m/s=-50m/s，所以C选项错误；

平均速度的大小为，所以D选项错误；

平均速率为

方法2：下面从物理规律的几何语言出发，运用物理图像来处理这个问题，如图1-12所示，具体计算同方法1。

【例1-5】 （2008年，全国）已知O、A、B、C为同一直线上的四点，AB间的距离为l1，BC间的距离为l2，一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点，已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等，求O与A的距离。

解＜模型分析＞对象模型：质点。过程模型：匀加速直线运动，如图1-13所示。

＜条件分析＞通过中间两段相邻距离的时间相等，并且两段距离的长度已知。

＜算法＞尽可能地多利用已有量，少引入未知量，设通过A点的速度为v0，则有

有4个未知数，但只有3个方程，处理这类问题的一个方法是将其中两个未知数的某种组合（多半是乘积或者商）当做一个未知数，从而达到消元的目的。

由式①得

下面的任务就是找出v20和a的表达式，并且消去时间t。

将式②代入式③，可得

式②×3-式⑤，整理，得式⑤-式②，整理，得

将式⑦代入式⑥，得

将式⑧代入式④，得

【例1-6】 在水平直轨道上有两辆汽车，相距为s，开始时，A车在后面以初速度v0，加速度大小为2a正对着B车做匀减速运动，而B车同时由静止开始做匀加速运动，加速度大小为a，两车运动方向相同，试论证，v0、s和a满足怎样的关系时两车相遇、不相遇。

解＜模型分析＞对象模型：汽车A和B看做质点。过程模型：汽车A做初速度不为0的匀减速直线运动，汽车B做初速度为0的匀加速直线运动，如图1-14所示。

＜条件分析＞汽车A与汽车B起初相距s，A车加速度的绝对值大于B车加速度的绝对值。

方法1：如图1-15所示，在t＜t0时，A车速度大于B车速度，因此两者之间距离在不断增大，当t=t0时，两车速度相等，即两车的相对速度为0，两车之间距离达到最大值Δxm，这个最大值就决定了两车日后相遇的情况，即

如果那么两车在t0时刻相遇，并且只相遇这一次；

如果那么两车不能相遇；

如果那么两车相遇两次，但前提是两车第二次相遇的时刻，必须在A车停止运动之前。

方法2：我们从纯代数的角度考虑这个问题。设t时刻两车相遇，相遇时，它们对同一参考系（A车的出发点为坐标原点）的位移应当相同，即

将xA和xB展开，有

整理，得

这是一个关于t的二次方程，讨论其判别式：

如果方程无实根，说明两车不相遇；

如果方程有1个实根，说明两车相遇1次；

如果方程有两个实根，说明两车相遇两次。

这与上面图像方法讨论的结果是一致的。

【点拨与提高】 我们关注两车相遇两次的情况，这个时候有，但这只给出了s的上界，我们关心s的下界，因为A车减速停止后，不会再反向返回，因此方程（1）会在A车停止运动后产生不满足物理情景的增根。我们先将方程（1）的求根范围限定在A车停止运动之前，设A车在t0时刻停止运动，即

再通过求根公式，算出式①中最大的根

也就是说tmax必须落在区间[0,t0]中，即

解不等式，得

即两车相遇两次的条件为

s所处的区间左端点是可以取到的，也就是A车恰好停止运动时，两车第二次相遇。

【例1-7】 一名观察者站在第一节车厢最前端旁边的站台上，当列车从静止开始做匀加速直线运动后，第1节车厢全部经过观察者所在位置历时30s，整个列车全部经过观察者所在位置历时120s，若每一节车厢长度都相同，问：

（1）该列车一共有几节车厢？

（2）最后一节车厢经过观察者所在位置历时多长？

（3）第n节车厢经过观察者所在位置历时多长？

解＜模型分析＞对象模型：看做质点的观察者，以及每节等长的列车。过程模型：观察者不动，火车相对于观察者做匀加速直线运动，等效于火车不动，观察者相对于火车做匀加速直线运动。

（1）设每节车厢长L，火车加速度为a，且t1=30s，t=120s

所以，有

（2）如果只考虑第16节车厢（时间为t16），那么问题将变得非常复杂，我们不妨考虑火车的前15节车厢通过观察者的时间t15，这样，t16=t-t15

所以

（3）与第（2）问一样，考虑通过第n-1节和第n节的时间tn-1和tn

所以

【例1-8】 如图1-16所示，一个光滑的小球，第1次从A点由静止开始沿着AB管滑到C点历时T1，第2次从A点由静止开始沿着AD管滑到C点历时T2，已知s1＞s2，B、D两点在同一水平线上，试证明：T1＞T2。

解＜模型分析＞对象模型：质点。过程模型：① 先通过倾斜度高（加速度大）的斜面，再通过倾斜度低（加速度小）的斜面的过程；② 先通过倾斜度低（加速度小）的斜面，再通过倾斜度高（加速度大）的斜面的过程。

＜条件分析＞

通过如图1-17所示的v-t图像可以看出，无论小球通过哪个路径，其总位移都是AC，因此在v-t图像中，两条过程曲线（OPQ、OMN）与横轴所围面积是相等的，因此，有T1＞T2。

【例1-9】 直杆长L=1.45m，从某高处竖直自由下落，在下落过程中，杆通过一个高H=2m的窗口历时t=0.3s，试求杆的下端的初始位置到窗台的高度h0。（g取10m/s2）

解 ＜模型分析＞对象模型：长度为L的直杆。过程模型：自由落体运动。由于直杆每部分的运动都是一样的，即整体平动，因为我们可以选择直杆上任意一个点的运动来代替整根杆的运动，为方便起见，我们选取直杆的下端点B为研究对象，这样，我们就把一个刚体的运动学问题转变成了一个质点的运动学问题。

＜条件分析＞杆通过窗口的含义是自杆的下端点通过窗口（黑色粗线）上沿到杆的上端点通过窗口下沿。所选取的下端点B做自由落体运动。

方法1：如图1-18所示，设B端从起始位置到窗台上沿所用时间为t1，从起始位置到A端通过窗口下沿所用时间为t1+t

所以，解得

所以，有

所以

方法2：设直杆下端点B到达窗户上端的时候速度为v1，直杆完全通过窗户时速度为v2，根据平均速度的定义，有

得

又

联立式①②，可得

所以

最后得