第1章 信号的描述

1.1 信号的基本描述

我们研究信号，首先想到怎样来描述一个信号。我们可以用电场、电压或电流等来表示信号。因此，一个最直接的答案是，我们可以把信号看成一个时间的函数，用一个函数式来描述信号，即s =f(t)。如果信号是时间的某一个简单函数，我们可以用少数参数来描述这个信号。比如，一个单一频率的正弦信号可以用它的频率、幅度、初始相位等参数来描述，一个规律的重复脉冲信号可以用它的幅度、脉冲宽度和重复频率来描述，等等。更一般的情况是，信号具有某种看似随机变化的属性，我们似乎无法用有限的参数来准确地描述信号。但是事实并不是这样的，为了便于理解，首先从工程的观点出发进行简单分析。至于支持这个论述的更严格的说法，我们将在本章的后面分别讨论。

考虑一个信号，具有一定的时间长度T。由于它具有有限的时间长度，我们可以人为地以该长度为周期，复制该信号，并将其首尾相接。这样可以得到一个周期信号，其周期就是T。根据傅里叶级数的理论，这个信号将可以被展开成一个无穷级数，写成如下形式：

也就是说，这个信号可以用一个直流和无数个简谐波来表示，而且这些简谐波的频率都是1/T的整数倍。由于时间长度有限，这个信号不含有非1/T的整数倍的频率分量。如果信号的带宽是无限的，对信号的描述将仍然是无限的。

如果我们再添加一个条件，假设信号的带宽是有限的，其频带宽度为B。那么我们就会发现，原来需要连续描述的信号，可以被转换成用一些离散的量来描述，而且它们的数量是有限的。因为这个信号已经被我们分解成有限个简谐波的总和。对于其中的任何一个频率分量，确切描述它所需要的仅仅是一个序号和它的幅度。我们不妨规定，直流分量的序号为0，频率为k/T的余弦分量用正整数k表示，频率为k/T的正弦分量用负整数-k表示。于是，一个这样的信号可以简单地用一系列的幅度值来描述。

也就是说，对于我们所设定的信号，不但其频率分量是离散的，而且具体频率落在给定的频率范围以外的那些分量，由于其幅度为零，我们根本不必描述。于是，一个信号将可以由有限个频率分量的幅度来描述。由于频率分量之间的频率间隔为1/T，在带宽B内将有2B/(1/T)+1= 2BT+1个分量（包含直流分量可以被认为是一种很特殊的情况，与2BT这样一个很规范的数相比，在分量的个数上的差距为1）。上述分析的结论就是说，我们可以用2BT+1个幅度值来描述一个信号，2BT+1个简谐波的总和就可以构成这个信号。用公式描述，就是

f (t)↔Ak其中k的数量为2BT+1个。

还可以换一个角度来分析这同一个问题。如果说信号具有有限的带宽，我们总可以把它变换到频率为0到B的另外一个信号。混频就是这样的一种线性变换，变换前后的信号具有一一对应的关系。因此，描述后一个信号也就描述了前一个信号。而对于后一个信号，著名的采样定理告诉我们，用频率为2B的速率对信号采样，所获得的信息可以唯一地描述这个信号。于是我们也可以用一系列离散的量来描述信号。由于信号的时间是有限的，描述信号的数也将只需要有限个。对于时间长度为T而言，需要的也就是用2BT+1个幅度值来描述一个信号。我们用不同的分析方法得到了同样的结果。

如果说，用简谐波信号合成一个信号还让人觉得不是那么直观（尽管我们在前面已经用一个简单的级数对此进行了描述）。那么，用采样的观点，实际上就是用一批在本采样点幅度非零、而在其他所有采样点幅度均为零的信号合成一个信号。对于一个有限带宽的信号，假设信号频谱为0到B，如果再设所有频率分量的相位均为零，以及在时间为零时的幅度为1，通过计算傅里叶反变换，可以得到这个基本的信号在时域内看为：

其波形如图1.1所示。把这个基本信号在时间轴上移动采样周期的整数倍，就成为g(t-k/2B)，其中k可以是任意整数。这样，原信号就可以表示成这个基本信号在时间轴上移动后再乘以信号在采样点的幅度后的累加：

当信号的时间长度有限时，这个求和式自然只有有限项：

其中k的数量正好为2BT +1个。

图1.1 仅一个采样点为非零的有限带宽信号

在结束本节前，我们想申明一下，本节所论述的概念其实是包含有一定的近似的，这就是为什么我们在前面提到了让我们用工程的概念来分析。严格的数学分析告诉我们，任何一个信号，如果它是时间有限的，那它就不可能是频带有限的；反之，如果它是频带有限的，那它就不可能是时间有限的。我们为了陈述信号的描述，或者确切地说，为了获取信号可以被用有限的参数描述，从一开始就引入了一个近似，那就是信号既是时间有限，又是频带有限的。实际上，思维严谨的读者可能会提问，我们提到了数量2BT+1，它与2BT的差距为1。如果要准确一点，到底是哪一个？其实问题还不仅仅是1的差别。当用前一种方式分解、描述信号时，我们假定了信号是周期存在的，这其实不同于在限定的时间以外没有信号，所以实际上信号在时间上并不是严格意义的被限定了的。对于后一种分解方式，我们从信号具有限定的频带宽度出发，但是后来又规定了信号具有有限的时间长度。观察在式（1.3）中给出的函数，就会发现，它不是一个时间有限的函数。如果强行在某一个时间段以外把它设定为零，那么信号的频带宽度将不再是严格意义被限定了的。这样的说明在一定意义上解释了两个数量的差别。好在对于一般的工程问题，我们有2BT≫1，于是在工程上也就不计较这个不大的差别。或者说，当信号的时间带宽乘积比较大时，我们认为在规定的时间和频率以外，信号的其他分量已经可以被认为不存在了。或者说由于实际中总是存在着噪声，当被我们忽略的部分比噪声还小时，我们做这样的忽略不会引起概念上的差错。因此，作者将提醒读者，如果这两个有限的界限都非常小，或者说不满足2BT≫1，这样的假设将可能是不合理的，我们的论述至少是不那么严格的。