1.1 行列式的定义

1.1.1 二阶和三阶行列式

行列式这个概念究竟是如何形成的呢？这就得从求解方程个数和未知量个数相等的一次（线性）方程组入手。

在初等代数中，用加、减消元法求解一个二元一次方程组

的具体步骤是：先从方程组（1.1）里消去x2而求得x1，这只要将方程组（1.1）的第1、第2两个式子分别乘以a22与-a12，然后再相加，就得到

（a11a22-a12a21）x1=a22b1-a12b2

同理，也可从方程组（1.1）里消去x1而求得x2，这只要将方程组（1.1）的第1、第2两个式子分别乘以-a21与a11，然后相加，得到

（a11a22-a12a21）x2=a11b2-a21b1

即

如果未知量x1，x2的系数a11a22-a12a21≠0，那么，这个线性方程组（1.1）有唯一解：

为了便于使用与记忆，我们引进二阶行列式的概念。

如果把线性方程组（1.1）中未知量x1，x2的系数按原来的位置写成2行2列的数表，并用2根竖线加以标出，那么，便得到一个二阶行列式，对此除引入字母Δ作为记号外，还规定：

式（1.2）最右边的式子称为二阶行列式Δ的展开式。

于是，线性方程组（1.1）的解可以表示为

若记

则线性方程组（1.1）的解可以简洁地表示为

由此可见，二阶行列式的引入与二元一次方程组有关，它表示排成2行、2列的4个数在规定运算下得到的一个数值。

类似地，对于三元一次方程组

为了简单地表达它的解，我们引进三阶行列式的概念。三阶行列式就是排成3行、3列的9个数的一张数表，其展开式规定为

例1.1 计算三阶行列式

所以，三阶行列式也是在规定运算下的一个数值，它可转化为二阶行列式的计算得到。三阶行列式可以用来表达三元一次方程组（1.4）的解。如果方程组（1.4）系数行列式

那么方程组有唯一解，其解同样可以简洁地表示为

其中

在方程组（1.4）的解的表达式（1.5）中，xi（i=1，2，3）分母均是方程组（1.4）的系数行列式Δ，xi的分子是将系数行列式Δ中的第i列换成方程组（1.4）中的常数项，其余列不动所得到的行列式，并简记为Δi（i=1，2，3）。

例1.2 解方程组

解 方程组的系数行列式为

又计算得

所以方程组的解为

显然，对于未知数个数等于方程个数的二元、三元线性方程组，当它们的系数行列式不等于零时，利用行列式这一工具求解十分简便，结果也容易记忆。我们自然联想到：对于未知数个数等于方程个数的n元（n＞3）线性方程组，是否也有类似的结果？这就需要引入n阶（n＞3）行列式的定义。