2.3 基于Allen-Cahn方程的去噪模型

2.3.1 面积保留的MCM模型

设演化曲线为C（s，t）=（x（s，t），y（s，t）），s是任意参数化变量，t是时间，则曲线沿其单位法矢方向的演化过程可以用如下的偏微分方程表示：

式中，V（C）是速度函数，它决定曲线C上每点的演化速度。

研究中最常用的曲线演化是曲率演化。曲率演化可由如下的几何热力学方程加以描述：

式中，α为正值常数。不难证明，任意形状的简单闭合曲线，在上述偏微分方程的驱动下，将会逐渐变平滑，并最终收缩成一个圆点。因此，曲率演化和参数化形变模型的弹性内力的变形效果很相似。

假设曲线演化过程充分光滑，经过一个充分小的时间间隔τ后，生成新曲线

C（t+τ）={y∈R2|y=x+ρ（x，τ）·N（x，t），x∈C（t）}（2.3）

其中，ρ是光滑函数。设曲线C的法向速度，则曲线C（t）所围区域A的变化公式为

由于封闭曲线沿弧长的曲率积分满足∫C（t）κ（s）ds=2π，因此单位长度封闭曲线所围区域的变化值恰好等于曲率均值，其中L表示曲线C的长度。由于曲线C（t）将区域Ωt分成区域和，当MCM中法向速度κ减去后，就可以使曲线“面积”得到保留。因此，面积a（t）保留的MCM模型（Area-Preserving Mean Curvature Motion，APMCM）的数学表述为：

2.3.2 非局部形式Allen-Cahn方程的水平集表示

由于式（2.5）是一种显式曲线演化方程，很难对几何拓扑变化复杂的曲线进行有效表示。水平集方法是一种有效提高封闭移动界面在演化过程中几何拓扑自适应能力的计算工具，其主要思想是将移动界面作为零水平集嵌入高一维的水平集函数中，通过确定封闭超曲面零水平集的演化行为确定移动界面的演化。Allen-Cahn方程源于相位场模型中的分界线运动理论，在满足一定约束条件后，可以作为一种有效的面积保留MCM模型的水平集表示。

设Ω0和Ω1是区域Ω中函数值分别为-1和1的两个区域，W（u）为光滑等长双井势能函数，则Allen-Cahn方程的数学表述为

式中，ξ是Ω0和Ω1间移动界面的宽度，w（u）是W（u）的导数，通常取。

Allen-Cahn方程的一个研究热点是它的非局部形式，非局部形式Allen-Cahn方程是将原方程中的w（u）项分解成两项：

式中，f（u）是势能函数的导数，是f（u）在区域Ω中的均值。非局部形式Allen-Cahn方程有两个好处：一是可以保证当ξ→0+时，该方程的水平集曲线运动满足面积保留平均曲率运动式（2.5），因此具有保面积特性；二是可以保证对水平集曲线的积分值保持不变，这就为终止演化过程提供判断依据，即一旦演化水平集曲线的积分值小于阈值γ，则终止进一步演化，避免平凡稳态解的产生。

在图像处理中，为了得到Allen-Cahn方程的水平集表示，本章提出一个新的势能函数来代替原先的势能函数W（u）。新旧势能函数及其各自的导数函数如图2.1所示。在图2.1（a）中，Wnew（u）能够在（0，1）间产生一个局部极大值，从而为图2.1（b）中提供一个（0，1）区间内的零点fnew（0.5）=0，且区间（0，0.5）和（0.5，1）的符号相反，这就为水平集函数的构造提供基础。而图2.1（c）中，W（u）在（0，1）区间内单调递减，因此无法在图2.1（d）中的（0，1）区间内产生一个零点。

利用fnew（u）可以方便地构造出Allen-Cahn方程的0.5级水平集表示，它的0.5级水平集表示原曲线Ct（t）={（x，y）∈Ω|u（x，y，t）=0.5}；同时，0.5级水平集曲线将区域Ωt分成区域和。

因此，非局部形式Allen-Cahn方程的水平集演化模型为

由于曲线按照Allen-Cahn方程演化，在进行噪声去除的同时，拓扑纹理中纹线等图像特征也被弱化，因此必须对曲线演化行为进行有效控制。本章通过引入图像梯度模的减函数来实现演化行为控制，其中，I是图像的灰度矩阵，Gσ是噪声尺度为σ的高斯核，*表示卷积算子。边缘指示函数g（I）根据灰度变化剧烈的情况确定曲线在该点的演化行为，当靠近目标边界时，减小曲线演化的速度，直至停止曲线的演化。

因此，包含曲线演化行为控制的非局部Allen-Cahn方程的水平集演化模型为

2.3.3 边界演化的行为控制

但是，式（2.9）对图像边缘的边界控制是很弱的，这主要体现在：当图像边缘所在边界点两端的不同强度的像素点在函数g（I）的控制作用下，式（2.9）的右端项将“迅速”趋于0，就不能有效地区分边界点两端的不同强度的像素点的演化行为，即无法使它们以不同的速度和方向“缓慢”靠近目标边界，从而导致横跨目标边界情况的发生。因此，为避免出现演化曲线横跨目标边界的情况，本章引入对流项速度∇g·∇u以保证演化曲线停在目标边界上，而不横跨目标边界。不失一般性，我们以一维边缘曲线为例说明对流项速度对图像边缘的边界控制作用。图2.2所示为在一维情况下，对流项速度∇g·∇u=g′（Γ′）的生成情况。设图2.2（a）所示为图像中的一条边缘曲线Γ，Γ在O点两旁的强度值符号不同，即Γ|OA≤0且Γ|OB≥0，图2.2（b）所示为曲线Γ的一阶导数Γ′，图2.2（c）所示为函数g在Γ′上的值g（Γ′），图2.2（d）所示为函数g（Γ′）的一阶导数g′（Γ′），g′（Γ′）在O点两旁的符号不同，即g′（Γ′）|OA≤0且g′（Γ′）|OB≥0。由于OA段曲线靠近O点时的速度g′（Γ′）|OA和OB段曲线靠近O点时的速度g′（Γ′）|OB的方向相反，即OA段曲线（强度值小）以负值速度靠近，而OB段曲线（强度值大）以正值速度靠近，这样就可以使边界点O两端的不同强度的像素点能够以不同的速度和方向“缓慢”靠近目标边界，而不是“迅速”靠近目标边界，从而避免横跨目标边界情况的发生。

综上所述，包含曲线演化行为控制和边界控制功能的基于非局部Allen-Cahn方程的水平集演化模型为

当ξ充分小时，式（2.10）包含了与面积保留MCM式（2.5）的一致性，因此确保了曲线在演化过程中的保面积特性，较好地避免了特征纹线形状的失真，保留了拓扑纹线的形状。