2.2 杆件的拉伸与压缩

1.拉伸与压缩时的内力与应力

工程实际中，经常遇到受拉伸或压缩的构件，这些构件绝大多数都是截面不变的直杆，其受力特点是：作用在杆件两端的两个力，大小相等，方向相反（两力方向相背时为拉伸，方向相对时为压缩），并且沿着杆件的轴线作用。这种现象称为轴向拉伸或压缩。

弹性杆件在外力作用下发生变形，同时，杆件内部各部分之间产生相互作用力，这种力称为内力。内力随着外力的增加而增加，达到某极限值时杆件就会发生破坏。因此，内力与杆件的强度、刚度和稳定性密切相关。

设如图2-1（a）所示的杆件在外力作用下处于平衡状态。欲求任一截面m-m上的内力，用一假想平面在m-m处把杆件切开，任取其中一部分（如部分I）作为研究对象，并将部分II对部分I的作用以截面上的内力代替，如图2-1（b）所示。由连续性假设，内力是作用在切开截面上的连续分布力系。

将上述分布内力向横截面的形心C简化，得到主矢FR和主矩MC，如图2-1（c）所示。然后，以横截面形心C为坐标原点建立笛卡尔坐标系，并将主矢FR和主矩MC沿坐标轴分解，得内力分量FN、FSy和FSz，以及内力偶矩分量Mx、My和Mz，如图2-1（d）所示。其中，沿轴线方向的内力FN称为轴力，它使杆件产生轴向伸长或缩短变形；与横截面相切的内力FSy和FSz称为剪力，其作用是使相邻横截面产生相对错动；绕x轴的力偶Mx称为扭矩，它使各横截面产生绕轴线的相对转动；绕y轴和z轴的力偶My和Mz称为弯矩，其作用是使杆件分别产生xz平面内和xy平面内的弯曲变形。

由于杆件是平衡的，它的任一部分也是平衡的，所以上述内力和内力偶与作用在该杆段上的外力构成平衡力系。由平衡方程

∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0

∑Mx=0，∑My=0，∑Mz=0

即可由外力确定内力分量。这种确定内力的方法称为截面法。

对于受压杆件，其内力的求法与受拉杆件相同。为了区别内力的拉、压性质，规定拉力取“+”，压力取“-”。

知道了内力的大小，还不能断定杆件是否会被破坏。实际上杆件破坏与横截面上各点分担多少内力有关，因此必须考虑截面尺寸的影响。

根据实验，如外力与杆轴相重合，则受拉杆件或受压杆件横截面上的应力平均分布，其轴线均垂直于横截面（见图2-2）。这种垂直于截面的应力称为正应力，并用符号“σ”表示，由此可得到直杆轴向拉伸或压缩时横截面上的正应力公式为

式中：N为横截面上的内力，单位为N；A为横截面面积，单位为m2。

由于内力总是与外力平衡，所以计算应力时，可直接用外力大小来计算，即

当杆件受拉伸时，σ称为拉应力（见图2-2（a）），规定取“+”。当杆件受压缩时，σ称为压应力（见图2-2（b）），规定取“-”。

根据低碳拉伸实验，材料在弹性限度内，应力σ与应变ε成正比，即胡克定律

σ=Eε （2-3）

由于σ=P/A，ε=Δl/l，于是胡克定律也可以写为

式（2-4）说明，材料在弹性限度内，杆件的绝对伸长（或缩短）与外力P及杆长l成正比，与杆件横截面面积A及材料的弹性模量E成反比。

工程实际中，许多问题的结论都是以胡克定律为基础进行理论分析而得到的。

2.拉伸与压缩时的强度计算

要保证构件工作时不至于被破坏，必须使工作应力小于材料的极限应力。对于脆性材料，当构件的应力达到材料强度极限σb时会发生断裂；对于塑性材料，应力达到屈服极限σs时会产生显著的塑性变形。这两种情况在工程实际中都是不允许的，都属于破坏现象。因此，对于低碳钢等塑性材料，其工作应力不得超过其屈服极限σs；而对于铸铁等脆性材料，其工作应力应不能超过强度极限σb。考虑应有一定的安全储备，则杆中的最大工作应力必须满足如下条件

式（2-5）称为拉（压）杆的强度条件。式中的[σ]称为许用应力；σlim称为极限应力（σs或σb）；s是一个大于1的系数，称为安全系数。式（2-5）表明，为保证构件能安全地工作，最大工作应力必须控制在比极限应力σlim更低的范围内。安全系数的选取受多种因素的影响，对一般钢材取s=2.0～2.5，对脆性材料取s=2.0～3.5。极限应力也可以从有关手册中查取。

强度条件在设计中可用于解决三类问题。

（1）截面积的计算

如已知负荷P和材料许用应力[σ]，求截面积A，可将式（2-5）改写成

（2）强度校核

如果已知构件所选用的材料、尺寸及所受负荷P，为了校核其强度，可按照拉（压）杆的强度条件计算出构件的最大应力σ。然后与所用材料的许用应力[]σ比较，若σ≤[σ]，则构件安全，否则说明不安全。

（3）许用负荷的确定

如果已知构件的横截面积A或截面尺寸和所用材料的许用应力[σ]，求构件所能承受的负荷，可将拉（压）杆的强度条件改写成

P≤A[σ] （2-7）

即可求出最大许用负荷的数值。

【例2-1】某冷锻机的曲柄滑块机构如图2-3所示。锻压工件时，连杆接近水平位置，锻压力P=3780kN，连杆横截面为矩形，高与宽之比h/b=1.4，材料的许用应力[σ]=90MPa（由于考虑到稳定效应影响，此处的[σ]已相应降低），试设计截面尺寸h和b。

解：由于锻压时连杆位于水平，连杆所受压力等于锻压力P，即轴力为N=P=3.78×103kN。

由强度条件得

因为连杆为矩形截面，所以A=b×h≥4.2×104mm2。又知h/b=1.4，所以1.4b2≥4.2×104mm2。解得b≥173mm，h≥1.4b=1.4×173=242mm。于是可以选用b=176mm，h=246mm。

【例2-2】 某工地自制悬臂起重机如图2-4（a）所示。撑杆AB为空心钢管，外径为105mm，内径为95mm。钢索1和2互相平行，且设钢索可作为相当于直径d=25mm的圆杆计算。材料的许用应力为[σ]=60MPa。试确定起重机的许可吊重。

解：画滑轮A的受力图，如图2-4（b）所示，假设撑杆AB受压，轴力为N；钢索1受拉，拉力为F1；钢索2受拉，拉力为F2。选取坐标轴x和y，如图2-4（b）所示。①求外力（内力）

∑Fx=0，F1+F2+Pcos60°-Ncos15°=0 （1）

∑Fy=0，Nsin15°-Pcos30°=0 （2）

若不计摩擦力，则钢索2的拉力F2与吊重P相等。以F2=P代入第（1）式，并解以上方程组，求得N和F1分别为

求得的N及F1皆为正，表示假设撑杆AB受压、钢索1受拉是正确的。

②根据AB杆的强度条件确定许可吊重

由强度条件可得撑杆AB允许的最大轴力为

代入第（3）式，得到相应的吊重为

同理，钢索1允许的最大拉力为

代入第（4）式，得到相应的吊重为

从上述讨论可以看出，若从安全角度考虑，应加大安全系数，降低许用应力，这就难免要增加材料的消耗和机器的重量，造成浪费。相反，如从经济角度考虑，应减小安全系数，提高许用应力，这样可以少用材料，减轻自重，但又有损于安全。所以，应该合理权衡，找到最优的安全系数点。