1.3 精密机械零件的受力平衡

1.共线力的平衡

一个力系作用于物体而不发生任何外效应，则受此力系作用的物体处于平衡状态。对于一个物体来说，要想处于平衡状态，除了使物体不能有任何方向的移动外，还必须使物体绕任意一点都不能转动。所以，物体受力的平衡条件必须满足：①力系中各力沿任一方向的分力的代数和应等于零；②力系中各力对于任意一点（或轴）的力矩的代数和应等于零。

最简单的平衡状态是物体在两个力作用下的平衡。根据二力平衡定律，若两个力使物体平衡，此二力必须大小相等、方向相反，作用在同一直线上，如图1-16所示。其平衡方程式为∑F=0，或各力对力的作用线以外任意一点A的力矩的代数和等于零，即∑MA（F）=0。满足以上两个平衡方程式的任何一个，都能保证力系的平衡。显然，此平衡条件可推广应用于共线力系中任意一个力作用下物体的平衡。所以，共线力系的平衡只有一个独立平衡方程式。

2.平面力系的平衡

对于平面力系，假如在一个平面中某一物体受到不共线的三个力的作用，如图1-17所示，要使得物体平衡，其中两个力的合力必须与第三个力的大小相等、方向相反，即三个力的合力为零。由此可知，在平面力系中，不论多少个力作用于物体，使物体平衡的必要条件是各力的矢量和为零，即∑F=0，或者各力在平面坐标系x、y两轴上投影的代数和均等于零，即∑Fx=0，∑Fy=0。

力系仅满足合力等于零的条件，不一定能使物体处于平衡。假如当三个力作用于物体时，两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，但不共线，会形成一个力偶。即对力的作用线以外任一点（或轴）的力矩和不等于零，亦即存在一个力偶矩。这时物体仍可产生转动效应而不能平衡。故平面力系中除了必须满足在平面坐标系x、y两轴上投影的代数和均等于零外，还应具备物体平衡的充分条件，即必须满足各力对平面内任意一点O的力矩和也等于零，即∑MO（F）=0，故平面力系平衡的代数条件为：∑Fx=0，∑Fy=0，∑MO（F）=0。

3.空间力系的平衡

对于空间的力系而言，由于各力的作用并不在同一个平面内，如图1-18所示。如仅满足上述平面力系中的三个平衡方程式，并不能保证物体平衡。物体仍然可以沿着z轴移动与转动。由此可知，要使空间力系作用下的物体平衡，必须使物体在三个相互垂直的轴线方向都没移动，而且物体绕Ox、Oy、Oz三个轴都没转动。为此，必须相应地具有6个平衡条件，即各力在x、y、z三轴方向投影的代数和等于零，绕Ox、Oy、Oz三轴的力矩和等于零，由此得出空间力系的代数条件为：∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0，∑Mx（F）=0，∑My（F）=0，∑Mz（F）=0。

而对于空间上的共点力系，只要各力在相互垂直的三轴上投影的代数和均为零，则各力必互成平衡，即空间共点力系的3个平衡方程式为：∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0。

而对于空间上的平行力系，只要各力（沿与其平行的轴线方向，如z轴方向）的代数和等于零，且各力对于与其不相平行的两轴的力矩和均为零，则此力系必成平衡。即空间平行力系的3个平衡方程为：∑Fz=0，∑Mx（F）=0，∑My（F）=0。

对于平面力系和空间力系，在建立平衡方程时，若能将分解分力的方向与力矩中心（或轴）的位置适当选择，使得到的每个平衡方程式都只含有一个未知量，则不需联立求解，计算工作量大为简化。若在平面一般力系的静力方程式中具有三个未知量，选择两个未知力的交点作为矩心，则写出一个力矩方程式后，此方程式中就仅包含一个未知力，不需联立即可解出未知力与已知力的关系。

【例1-3】重量W=10000N的车辆停放在与水平面成α=30°的斜坡上，并用平行于斜面的绳子拉住，如图1-19所示。设a=0.75m，b=0.3m，h=0.7m，假设斜坡是光滑的，求绳子的拉力和斜坡面对车轮的反力。

解：以车作为考察对象，作出受力图。选投影轴x、y分别平行和垂直斜坡面。

先以拉力T与反力NA作用线的交点H为矩心，并将W分解为Wx、Wy两分力。由各力对H点力矩的代数和∑MH（F）=0，得

-Wxb-Wya+NB·2a=0

其中，Wx=Wsinα，Wy=Wcosα，解得

由Fx=0得Wx-T=0，解得

T=Wsinα=5000N

由Fy=0得NA+NB-Wy=0，解得

NA=Wcosα-NB=3330N

【例1-4】设一水平构件AB，用固定铰链支座及软绳与墙壁连接，AB上作用着负荷P1=40N，P2=100N，构件自重忽略不计，如图1-20（a）所示。求绳内拉力T及A点铰链作用于构件的反力R。

解：取构件AB作为研究对象，作其受力图，如图1-20（b）所示。力系中有3个未知量，分别是T、R和θ，应用三个平衡方程式，得

∑MA（F）=T×12sin30°-100×10-40×4=0 （1）

则T=193N。

∑Fx=Rcosθ-Tcos30°=0 （2）

则Rcosθ=193cos30°=167N。

∑Fy=Rsinθ+Tsin30°-40-100=0 （3）

则Rcosθ=140-193cos30°=43.5N。

式（3）除以式（2）得θ=14°35′。将θ值代入式（2），可得R=173N。

【例1-5】一重物W悬挂如图1-21（a）所示。已知W=1800N，其他重量不计。试求A、C两处铰链的约束反力。

解：取整体为研究对象。

画出整体受力图（见图1-21（b））。作用在整体上的力有：重力W，绳索拉力FT（FT=W），铰链C的反力FC（BC为二力杆，故反力FC作用线沿BC方向），以及铰链A的反力FAx、FAy，它们构成平面一般力系。

取坐标系Axy，分别以A与B为矩心，列平衡方程：

∑Fx=0， FAx-FT-FCcos45°=0

∑MA（F）=0， FCsin45°×0.6m-W×0.3m+FT×0.1m=0

∑MB（F）=0， -FAy×0.6m+W×0.3m+FT×0.1m=0

求解平衡方程，得

FAx=2.4kN， FAy=1.2kN， FC=0.85kN

由于矩心往往取在未知力的交点，所以在计算某些问题时，采用力矩式比投影式简便。但必须注意，无论是二力矩还是三力矩式的平衡方程，都有其成立的条件。如在例1-5中，若选取与AB连线垂直的y轴作为投影轴，得到的投影方程实际是两个力矩方程的线性组合，并不是所需要的独立方程。

【例1-6】夹紧装置如图1-22所示。设各处接触均为光滑接触，求在力P作用下工件受到的夹紧力。

解：取A、B块和杆AB组成的系统作为研究对象，画受力图。各光滑约束处的反力均为压力。NC是工件C作为约束的反力，工件所受到的压力N'C=NC，因此，需要求的是NC。列平衡方程得到

∑Fy=NB-P=0⇒NB=P

∑MA（F）=NB×ABcosα-NC×ABsinα=0

可得，NC=Pcotα。可见，α越小，夹紧力越大。

〖讨论1〗若矩心取在NA、NB未知力交点O，则由力矩方程直接可得

∑Mo（F）=P·ABcosα-NC·ABsinα=0⇒NC=Pcotα

〖讨论2〗若分别取A、B两滑块为研究对象，受力如图1-22（b）所示，分别列平衡方程，有

NABsinα-P=0⇒NAB=P/sinα

NABcosα-NC=0⇒NC=NABcosα=Pcotα