0.1 数的进制
十进制是我们熟悉的计数系统，它用十个符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示整数。在表示一个整数时，符号的位置（也就是我们过去常说的位置值原则）是重要的：从右边开始，第一个符号表示1（1=100）的个数，第二个符号表示10（10=101）的个数，第三个符号是100（100=102）的个数，…，第n个符号代表10n-1的个数，等等。例如，73854=7× 104+3×103+8×102+5×101+4×100。我们把系统所基于的那个数（十进制系统就是10）称为基数。
计算机科学要用到10以外的基数。比如，二进制就是以2为基数的计数系统。下面我们讨论二进制系统。
在二进制数字系统（基数为2）中，只用两个符号0和1来表示一个整数。从右边开始，第一个符号表示1（1=20）的个数，第二个符号表示2（2=21）的个数，第三个符号是4（4=22）的个数，第四个表示8（8=23）的个数，…，第n个位置的符号表示2n-1的个数。比如，二进制数1010111112可以化为十进制数
1·28+0·27+1·26+0·25+1·24+1·23+1·22+1·21+1·20=351
如果不知道使用的是什么数制系统，一个数字所表示的意义将是含混的。比如，101101在十进制中表示某个数，在二进制中则表示完全不同的另一个数。通常情况下，读者能从上下文知道所用的是什么数制。但是，如果我们要完全地明确表示一个数，就把基数作为下标来标记所用的数制系统——十进制用下标10，二进制用下标2，等等。例如，二进制的101101用1011012来表示，十进制的101101用10110110来表示。
例0.1.1
二进制数1011012表示此数由一个1、没有2、一个4、一个8、没有16、一个32等组成。它可以表示为
1011012=1·25+0·24+1·23+1·22+0·21+1·20
用十进制计算上面式子的右边，得出
此例告诉我们，如何把一个二进制数转换为一个十进制数。
下面考虑相反的问题——把一个十进制数转换为一个二进制数，例如，要把十进制数91转换为二进制数。首先我们用91除以2，得到
再把45除以2，得
把上式的45代入式（0.1.1），得
再把22除以2，得
22=2·11
将它代入式（0.1.3），得
再把11除以2，得
11=2·5+1
将它代入式（0.1.4），得
再把5除以2，得
5=2·2+1
将它代入式（0.1.5），得
上面的计算表明，当N（或商）逐次被2除时所得的余数，就给出了N的二进制表示的各个位置上的数。在（0.1.1）式中，第一次被2除的余数就是最低位（1的个数），在（0.1.2）式中，第二次被2除的余数就是代表2的个数的位，等等。
例0.1.2
把十进制131写为二进制。
下面的计算表明，逐次被2除，余数就是从右边开始的各个二进制位。
直到所除得的商数为0时，停止计算。第一次被2除的余数就是最低位（1的个数），第二次被2除的余数就是表示2的个数的位，等等。也就是说，将所得余数从下往上排列为从左向右的形式，我们就得出：
13110=100000112
十进制数相加的方法也可以用于二进制数相加，但是，我们要把十进制加法表用二进制加法表代替，见表0.1.1。
表0.1.1
在十进制中，1+1=2，且210=102。所以，在二进制中，1+1=10。
例0.1.3
把二进制数10011011和1001011相加。
我们把问题写为
与十进制加法一样，我们从右边开始，把1和1相加，其和为102，于是我们写出0并有进位1。此时计算成为
下面，把三个1相加，得112写出1，还有进位1。此时，计算成为
继续此法，我们得出
在计算机系统中，重要的数制还有八进制和十六进制的系统。下面我们讨论十六进制系统，而把八进制系统作为练习题。
在十六进制系统中，表示整数的符号是：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E和F共16个字符，其中的符号A～F代表十进制数的10～15（一般来说，N进制的系统，需要N个不同的符号来表示0，1，2，…，N-1）。在表示一个整数时，从右边开始，第一个符号表示1的个数，第二个符号表示16的个数，第三个符号表示162的个数，…，第n个位置的符号表示16n-1的个数，等等。
例0.1.4
把十六进制数B4E转换为十进制数。
我们有
类似于二进制的讨论，要把一个十进制数转换为十六进制数，我们逐次把它（或者商）除以16，所得的余数就给出了十六进制的各个数位上的符号。
例0.1.5
把十进制数20385转换为十六进制数。
用20385（或商）依次除以16，余数就是从右边开始的各个十六进制位上的符号。
一直到商数为0时，停止计算。第一次被16除的余数就是最低位（1的个数），第二次被16除的余数就是16的位置上的数，如此等等，我们得出：
2038510=4FA116
下面的例子表明，我们可以用十进制数相加的方法来进行十六进制数的相加。
例0.1.6
把十六进制数84A和42EF相加。
问题可以写为
我们从最右边开始，把F和A相加。由于F是1510，A是1010，所以
下面我们把1，4和E相加，满16进1，写出余下的3，得1316。
继续照此进行，得到
例0.1.7
将二进制数转换成八进制数或十六进制数的方法是：从最低位开始向左边按每3位（转换成八进制数）或每4位（转换成十六进制数）分组，最后不满3位或4位的，则填0补充，再将每组用对应的八进制数或十六进制数代替，即可得相应的八进制数或十六进制数。
把二进制1110110100转换成八进制。
二进制1，110，110，100 每3位一组
001，110，110，100最高位补0
八进制1 6 6 4 结果
于是，11101101002=16648
把二进制1110110100转换成十六进制。
二进制11，1011，0100 每4位一组
0011，1011，0100最高位补0
16进制3 B 4 结果
于是，11101101002=3B416
例0.1.8
将八进制数或十六进制数转换成二进制数的方法是：将八进制数和十六进制数的每一位用对应的3位或4位二进制数来表示即可（参见表0.1.2）。
把八进制327转换成二进制。
八进制3 2 7
二进制011010 111
于是，3278=0110101112
把十六进制7A转换成二进制。
十六进制7 A
二进制01111010
于是，7A16=11110102
表0.1.2
习题0.1
1.把下列各二进制数改写为十进制数和十六进制数。
（1）100101
（2）101011
（3）10011011
（4）1100000
2.把各十进制数表示为二进制数和十六进制数。
（1）34
（2）61
（3）403
（4）1024
3.把下列二进制数相加。
（1）1011+1110
（2）101011+1101
（3）110110+101101
（4）101101+110101
4.把十六进制数表示为十进制数和二进制数。
（1）3A
（2）1E9
（3）3F7C
（4）A03
5.把下列各十六进制数相加。
（1）4A+B4
（2）49F7+C6E
（3）3B9C+9E2D
6.2010是一个二进制数吗？是一个十进制数吗？是一个十六进制数吗？
7.1001010是一个二进制数吗？是一个十进制数吗？是一个十六进制数吗？
8.完成表0.1.3所列的八进制加法表。
表0.1.3
9.把下列八进制数转化为十进制数、二进制数、十六进制数。
（1）73
（2）7654
（3）632
（4）207