1.2 线性移不变二维离散系统

由工程上与自然界中的二维连续信号x（t1，t2）采样后即为二维离散信号x（n1，n2），其处理系统为二维离散系统。

一个二维离散系统可以认为是将输入二维序列x（n1，n2）转换成另一个二维序列y（n1，n2）的算法（软件）或硬件。正如一维系统那样，可以对二维离散系统建立线性移不变（或空间位移不变）等概念。

可以用T[*]表示线性系统的变换。对于一个线性移不变二维离散系统来说，它具有如下性质：

h（n1，n2）=T[δ（n1，n2）] （1.12）

h（n1-k1，n2-k2）=T[δ（n1-k1，n2-k2）] （1.13）

式（1.12）表示h（n1，n2）是系统对位于原点的冲激信号的响应，称为冲激响应函数。而式（1.13）则表示系统对应于点（k1，k2）的冲激信号的响应，只要将冲激信号响应信号做相应的平移就可以得到。这就是线性二维离散系统的特征，即具有移不变的性质。因此，式（1.12）和式（1.13）完全表征了线性移不变二维离散系统的特性。

如果y（n1，n2）是对于x（n1，n2）的响应，由式（1.12）可知：

或者写成：

显然，式（1.15）是线性移不变二维离散系统的卷积和。对式（1.15）进行变量替换，就可得到另一种表示式：

或者可以写成：

y（n1，n2）=h（n1，n2）*x（n1，n2）=x（n1，n2）*h（n1，n2） （1.17）

对于线性移不变二维离散系统来说，它还有一个很好的性质，即它以复指数函数exp（j2πf1n1+j2πf2n2）为其特征函数。这就是说，如果系统输入是这种类型的函数，那么系统输出也是这种类型的函数，所不同的只是在幅度和相位上有变化而已。

因此，当线性移不变二维离散系统的输入序列是复指数函数时，则其输出对应于一个具有同样复频率的复指数，即对下式：

x（n1，n2）=exp（j2πf1n1+j2πf2n2）

求卷积和，得到：

式中

是一个复值函数，它是系统冲激响应函数h（n1，n2）的傅里叶变换，通常称为系统的频率响应。所以，是ω1=2πf1和ω2=2πf2的连续函数，且每一变量都是周期为2π的周期性函数。

如果线性移不变二维离散系统的冲激响应函数h（n1，n2）是可分离的，则也是可分离的，即，则由式（1.19）得到：

当然，冲激响应序列h（n1，n2）可以由傅里叶逆变换得出：

由此可以推知，序列x（n1，n2）的二维傅里叶变换为

二维序列x（n1，n2）由式（1.22）求其反变换得到：

应用频率域方法，二维线性系统的卷积公式（1.16）可以它们的相应傅里叶变换写成

正如同线性移不变一维离散系统那样，当线性移不变二维离散系统的卷积和式（1.18）中（k1，k2）变化范围为有限时，这个系统就是二维FIR离散系统或二维FIR数字滤波器；否则就是二维IIR离散系统或二维IIR数字滤波器。

定义1.1 当某线性移不变二维离散系统的单位冲激响应满足下列条件时：

h（n1，n2）=0，n1<0，n2<0 （1.25）

则该二维系统称为因果性系统，这种系统是可实现的。相反，如果对于n1<0，n2<0，单位冲激响应h（n1，n2）不等于零，则它是非因果系统。

定义1.2 如果线性移不变二维离散系统的模型是以系统输入和输出来描述的，且输出无反馈，其输入信号与输出信号之间将满足如下线性常系数的差分方程：

该系统为有限冲激脉冲响应（FIR）系统。

定义1.3 如果线性移不变二维离散系统的模型是以系统输入和输出来描述的，但输出有反馈，则其输入信号与输出信号之间将满足如下线性常系数的差分方程：

该系统为无限冲激脉冲响应（IIR）系统，这里a（k1，k2）和b（k1，k2）是表征系统的一组常系数，要求系数a（0，0）≠0。

这表明IIR系统的输出是由过去的输出以及现在和过去的输入来决定的。一个因果线性系统的初始条件是：对于n1<0，n2<0，如果x（n1，n2）=0，则y（n1，n2）也必须等于零。

对于二维IIR系统来说，它的冲激响应序列h（n1，n2）长度应是无限长的，系统的输出不仅与输入有关，还与输出的移位和加权值有关，或者说它存在反馈，即当n1>0，n2>0时，b（k1，k2）≠0。

对于二维FIR系统来说，它的冲激响应h（n1，n2）为有限长度（或区域），系统的输出只与输入有关，不存在输出对输入的反馈作用。在这种情况下，a（k1，k2）=h（k1，k2），b（k1，k2）=0。由此得出：

由于FIR系统不存在输出反馈，它总是稳定的，所以它在图像处理中得到广泛应用。