1.4 单相交流电路

1.4.1 单相交流电的基本概念

交、直流电源的性质、波形图及电气符号见表1-2。

直流电压和电流的大小及方向不随时间变化而变化，用大写字母表示，即电动势用E表示，电压用U表示，电流用I表示。电流方向一般用箭头表示，电流方向与该箭头方向一致。

交流电压和电流的大小及方向随时间变化而变化，用小写字母表示，即电动势用e表示，电压用u表示，电流用i表示。

交流电的优越性，一是可以用变压器将交流电压升高或降低，以利于高压输电和低压用电；二是交流电动机比直流电动机构造简单、工作可靠、造价低廉、维修方便。因此，在现代工农业生产和日常生活中，交流电得到了更为广泛的应用。

生活中使用的单相电是指正弦交流电，正弦交流电电压u的大小可表示为 u=Umsinφ。交流电压u为按正弦函数而变化的波形，由于与数学上学习过的正弦波曲线一致，所以称为正弦交流电，如图1-26所示。本书所说的交流电均指正弦交流电。

1.频率、周期与角频率

在图1-27所示的波形中，重复变化一次的时间称为周期（符号为T），单位为秒（s）；单位时间（1s）内重复变化的次数称为频率（符号为f），单位为赫兹（Hz）。

f与T之间有下列关系：

由于1s内重复变化了2次，所以为2Hz，而周期为0.5s。

我国工业及民用交流电源电压的有效值为220V、频率为50Hz，通常将这一交流电压简称为工频电压。

正弦交流电在单位时间内变化的弧度（或角度）数称为角频率。在一个周期T内，正弦交流电变化了2π弧度，角频率为

ω=2πf

角频率的单位为弧度/秒（rad/s）。

2.瞬时值、最大值与有效值

交流电的大小随时间而变化，某一瞬间的大小称为瞬时值。在图1-28中，u0 ～u8 为瞬时值。

最大值是该瞬时值中最大的值。如图1-28所示，在正弦交流电的1/2周期中，必定有一个最大值，最大值的表示方法为：电动势用Em表示，电压用Um表示，电流用Im表示，下标的m表示最大值（max）。

有效值是根据交流电的热效应定义的，采用等效（效果相同）的原理进行分析得出。

一交流电流i最大值为1.41A，而一直流电流I为1A，让它们分别通过同一白炽灯泡，如图1-29所示，结果在相同的时间内它们产生的热量相等，则此直流电的数值1A称为该交流电的有效值。

由于交流电的大小随时间的改变而改变，不方便计算，故一般用有效值表示交流电的大小。采用等效原理得出交流电有效值后的交流电路的计算方法与直流电路情况相同。

通常说照明电路的电压是220V，流过的电流为1A，这些数值均为电流的有效值。各种使用交流电的电气设备上所标的额定电压和额定电流的数值，以及一般交流电流表和交流电压表测量的数值，也都是有效值。以后提到交流电的数值，凡没有特别说明的，都是指有效值。

交流电动势、电压和电流的有效值分别用大写字母E、U、I表示。有效值与最大值的关系如下：

3.相位、初相和相位差

正弦交流电压u=Umsin（ωt+φu），正弦交流电流i=Imsin（ωt+φi），则正弦交流电表达式中的角度（ωt+φu）、（ωt+φi）称为相位。

初相：t=0时的相位；即φu、φi。

相位差：两个同频率正弦交流电的相位之差，其值等于它们的初相之差。如上两交流电的相位差为

φ=（ωt+φu）-（ωt+φi）=φu-φi

两个正弦交流电的相位关系如图1-30所示。

4.正弦量的三要素

由u=Umsin（ωt+φu）可以看出，当正弦交流电的最大值（或有效值）、角频率和初相这三个量确定时，正弦交流电才能确定。也就是说，这三个量是正弦交流电必不可少的要素，所以称它们为正弦量的三要素。

1.4.2 正弦交流电路

1.电阻元件的交流电路

交流电流流过电阻时同直流一样要放出热量，使用的是有效值。由于电阻为纯耗能元件，加在电阻上的电压和流过电阻的电流是同时到达的，所以电流和电压是同相位的，其有效值关系式为

UR=RIR

其实际消耗的功率，用有功功率PR表示：

PR=URIR

2.电感元件的交流电路

交流电流流过电感时电感对电流有阻碍作用，把这种作用定义为感抗（XL）：

XL=ωL=2πfL

式中 XL——电感的感抗（Ω）；

f——电流的频率（Hz），工频交流电f为50Hz；

L——电感（H）。

根据公式可知，感抗是与频率有关的量，频率越高，感抗越大。这也适合直流，因为直流的f=0，所以电感线圈对直流只是在接通瞬间有阻碍作用（接通瞬间电流有变化，是由无到有，f很大，则XL→∞（无穷大），接通后f=0，XL=0即为通路。正因为感抗的作用，交流电流过电感时，电流不易流过，总落后电压90°，其有效值关系式为

UL=XLIL

同时，交流电流过理想的电感线圈时并不消耗电能，只是与电源之间进行能量的交换，为了反映其能量交换的大小，用无功功率QL表示：

QL=ULIL

交流电流流过电容时电容对电流也有阻碍作用，把这种作用定义为容抗（XC）：

式中 XC——电容的容抗（Ω）；

f——电流的频率（Hz），工频交流电f为50Hz；

C——电容（F）。

由公式可知，容抗是与频率有关的量，频率越高，容抗越小。这也适合直流，因为直流的f=0，所以电容对直流只是在接通瞬间能流过电流（接通时电流由无变为有，f很大，则XC→0），接通后f=0，XC→∞则为断路。正因为容抗的作用，交流电流过电容时，电压总是受阻碍作用，而电流容易流过，所以电流总是超前电压90°，其有效值关系式为

UC=XCIC

同时，交流电流过理想电容时并不消耗电能，只是与电源之间进行能量的交换，为了反映其能量交换的大小，用无功功率QC表示：

QC=UCIC

电阻、电感、电容元件的特性见表1-3。

4.实际工程中常见的电阻、电感和电容串并联的电路

1）电阻和电感串联电路

电阻和电感串联电路是最常见的电路，如电动机、变压器等，只有在交流电路中才有实用意义。电阻和电感串联电路，如图1-31所示。

交流电流流过电阻和电感串联电路时，根据串联电路电流相等的原则，流过电阻R的电流与流过电感L的电流是相等的，且为同一个电流。这个电流在电阻上产生一个与电流同相的电压降，即

UR=RIR

而在电感上产生一个超前电流90°的电压降，即

UL=XLIL

电源的总电压U是这两个电压UR和UL围成的矩形的对角线，它们构成电压三角形，如图1-32所示，有

U=

电路的有功功率是电阻上消耗的功率，即

P=URI=I2 R=UIcosφ

电路的无功功率是电源与电路负载间能量交换的功率，也就是电感与电源之间交换的能量，即

Q=ULI=I2 XL=UIsinφ

在交流电路中，将电源电压有效值与电流有效值的乘积，称为电路的视在功率，单位为伏安（V·A）或千伏安（kV·A），用S表示，即S=UI，则有

P=UIcosφ=Scosφ

由此可见，有功功率为视在功率S乘以cosφ。

cosφ是表示设备发挥能力的一个系数，称为功率因数，即

电路的视在功率、有功功率和无功功率也构成一个与电压三角形相似的功率三角形，如图1-33所示。

【例1-5】 一台单相电动机由220V电源供电，电路中的电流是11A，cosφ=0.83，试求电动机的视在功率、有功功率和无功功率。

解：视在功率为

S=UI=220 ×11=2420（V·A）=2.42（k·VA）

有功功率为

P=Scosφ=2420 ×0.83=2008（W）≈2（kW）

由cosφ=0.83可求知φ=34°，sinφ=0.56，无功功率为

Q=UIsinφ=2420 ×0.56=1355（var）=1.355（kvar）

2）电阻与电感串联后再与电容并联的电路

在实际中，常会遇到许多有分支的并联电路。例如，电力系统的大多数负荷是感应电动机，它的功率因数较低，为了提高电力系统的功率因数，常在负荷端并联电容器。又如日常生活中用的日光灯，由灯管、镇流器串联后再并联一个电容器，如图1-34所示。

设外加电压为u，则在R-L支路中产生的电流i1的有效值为I1，电流i1滞后u的角度为一个小于90°的角度φ1；电容支路的电流iC超前电压u的角度为90°，其有效值为IC。

根据基尔霍夫电流定律，可求得电路中的总电流其有效值为

总功率因数角为

φ=arctan（I1L-IC）/I1R

可以看出，由于并联了电容，回路的总电流减小了，节约了电能，φ减小了，cosφ增大了，提高了功率因数，这才是（R+L）∥C电路的实际意义。

同时可得出如下结论：

① I1L＞IC时，总电流落后总电压一个φ角，电路为感性电路，负载为感性负载，这是工程中常使用的电路，并联电容可把cosφ提高到0.95。

② I1L＜IC时，总电流超前总电压一个φ角，电路为容性电路，负载为容性负载，工程中称为电容过补，易引起电源电压增高，一般是不允许的。

③ I1L=IC时，总电流与电压同相，负载为电阻性负载，这在工程中是绝对不允许的，易引起振荡。但在电子电路中则有实用意义，称为并联谐振（电流）电路，此时电路的阻抗为0，称为LC振荡电路。

由于提高功率因数对电力电路有很高的实用价值，所以电容常用于功率因数的补偿，这里介绍一下补偿电容的计算方法，以供参考。

式中 C——并联电容的电容量（μF）；

P——系统的有功功率（W）；

U——系统的电压（V）；

f——频率（Hz），一般取50Hz；

φ——并联电容后功率因数角；

φ1——并联电容前功率因数角。

Q=P（tanφ1 -tanφ）

式中 Q——补偿电容器的容量（kvar）；

P——系统的有功功率（kW）。